精解三角函数的周期性.doc

精解三角函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数.幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性.周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π. 2、y=sin（ωx）的最小正周期设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx .令ωx = x    则有 sin （x + ωL） = sin x因为sinx最小正周期是2π，所以有例如 sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为 3、正弦函数 y=sin（ωx+φ） 的周期性对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.如的最小周期与 y = sin（3x）相同，都是.于是，余弦函数的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2π.  二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx后者周期变为而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sinωx → sin（ ωx+φ）；（2）振幅变换sin（ωx +φ）→ Asin（ ωx+φ）；（3）纵移变换  Asin（ ωx +φ） → Asin（ ωx+φ）+m；后者周期都不变，亦即 Asin（ ωx +φ） +m与sin（ωx）的周期相同，都是.而对复合函数 f （sinx）的周期性，由具体问题确定. 1、复合函数 f（sinx） 的周期性【例题】 研究以下函数的周期性：（1）2 sinx；       （2）（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】 （1）2sinx 的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx，，sin（sinx）都是最小正周期2π的周期函数. 2、y= sin3 x 的周期性对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.   图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π. 3、y= sin2 x 的周期性对于y = sin2x = (sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？可以通过作图判定，分别列表作图如下.  图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2π. 4、sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x的周期也是π.sin2x的周期，由cosx的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinmx，当m=2n时，sinm x的最小正周期为π；m = 2n–1时，sinmx的最小正周期是2π.  5、幂复合函数举例【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期. 【解答】 最小正周期为π. 【例2】 求的最小正周期.【解答】 最小正周期为2π. 【例3】 求的最小正周期.【解答】 最小正周期为π.【说明】 正弦函数sinx的幂复合函数.当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？ 1、函数 sinx + sin2 x 的周期性sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者？列表如下. 表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π. 2、函数 sinx + sin2x 的周期性依据上表，作sinx+sin2x 的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由sinx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了. 3、函数sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期为2π，sinx的最小正周期是3π. 们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？不妨按周期定义进行检验. 设则x0 +3π=因此3π不是sinx + sinx的最小正周期.通过作图、直观看到，sinx+sinx的最小正周期为6π，即sinx和sinx最小正周期的最小倍数.。