集合论简介.doc

第一章集合一、集合论简介1、康托尔介绍1845年3月3日，乔治·康托尔生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论他的父亲力促他学工，因而康托尔在1863年带着这个目地进入了柏林大学这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心康托尔很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一所以在柏林大学，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生这篇文章的创造性引起人们的注意在以后的研究中，集合论和超限数成为康托尔研究的主流，他一直在这方面发表论文直到1897年，过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活1918年1月6日，康托尔在哈勒大学的精神病院中去世2、集合论的产生关于集合的理论是19世纪末开始形成的。

德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体简单说来，集合就是一组事物有一些集合，它们的元素是有穷的，如｛1，4，9，……100｝，｛里根，布什，克林顿｝，这种集合称为有穷集合而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合等，这种集合称为无穷集合无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。

他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有个，n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为 ，显然＞n因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数 3、集合论的意义 集合论是现代数学中重要的基础理论它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响 康托尔一生受过磨难他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年康托虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的康托尔的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教的影响下成长起来是一位精明的商人，明智且有天份。

他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心正是这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托尔也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。