三教上人（A+版-Applicable Achives）学业分层测评（六）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a＞2，b＞2，则( )A．ab≥a＋b B．ab≤a＋bC．ab＞a＋b D.ab＜a＋b【解析】 ∵a＞2，b＞2，∴－1＞0，－1＞0，则ab－(a＋b)＝a＋b＞0，∴ab＞a＋b.【答案】 C2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为( )A.＞ B.＜C.≥ D.≤【解析】 ∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则－＝＜0，∴＜.【答案】 B3．a，b都是正数，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是( )【导学号：32750031】A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q D.P≤Q【解析】 ∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2＝－()2＝≤0(当且仅当a＝b时取等号)，∴P2－Q2≤0.∴P≤Q.【答案】 D4．下列四个数中最大的是( )A．lg2 B．lgC．(lg2)2 D.lg(lg2)【解析】 ∵0＜lg2＜1＜＜2，∴lg(lg2)＜0＜lg＜lg2，且(lg2)2＜lg2，故选A.【答案】 A5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是( )A．a5b5C．a5＝b5 D.不确定【解析】 设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，则a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)．∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即a1q2＝a1＋2d，∴aq4＝(a1＋2d)2＝a＋4a1d＋4d2，∴a5－b5＝＝＝.∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0，∴a5>b5.【答案】 B二、填空题6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________.【导学号：32750032】【解析】 P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2.∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.【答案】 ab≠1或a≠－27．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．【解析】 M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.【答案】 M＞N8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则与的大小关系是________．【解析】 ∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.从而＝＞1，∴＞.【答案】 ＞三、解答题9．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.【证明】 ∵a＞2，则a－1＞1，∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，由于＝loga(a－1)loga(a＋1)＜＝.∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，∴＜＝1，因此＜1.∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．【解】 (1)由题设知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－.(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn.若q＝－，则Sn＝2n＋＝＝.当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－，故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn.[能力提升]1．已知a＞0，b＞0，m＝＋，＝＋，p＝，则m，n，p的大小顺序是( )A．m≥n＞p B．m＞n≥pC．n＞m＞p D.n≥m＞p【解析】 由已知m＝＋，n＝＋，得a＝b＞0时m＝n，可否定B，C.比较A，D项，不必论证与p的关系．取特值a＝4，b＝1，则m＝4＋＝，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.【答案】 A2．设m＞n，n∈N*，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，则a与b的大小关系为( )A．a≥b B．a≤bC．与x值有关，大小不定 D.以上都不正确【解析】 要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx＝(lgmx－lgnx)－＝(lgmx－lgnx)－＝(lgmx－lgnx)＝(lgmx－lgnx).∵x＞1，∴lgx＞0.当0＜lgx＜1时，a＞b；当lgx＝1时，a＝b；当lgx＞1时，a＞b.∴应选A.【答案】 A3．一个个体户有一种商品，其成本低于元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．【解析】 设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)2.5%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045，∵a＜，∴L1＜L2，月末出售好．【答案】 月末4．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.【证明】 ∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴a2b＋ab2＞2ab，a3＋b3＞2ab.∴a2b＋ab2－2ab＞0，a3＋b3－2ab＞0.∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，∴|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.6三教上人（A+版-Applicable Achives）。
