常微分方程考研讲义-一阶微分方程解的存在定理.docx

第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目的]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，纯熟近似解的误差估计式2. 理解解的延拓定理及延拓条件3. 理解解对初值的持续性、可微性定理的条件和结论[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的持续性、可微性定理的证明[教学措施] 讲授，实践[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的持续性、可微性定理及其证明[考核目的] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简朴的问题2.纯熟近似解的误差估计式，解对初值的持续性及可微性公式3.运用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质 §1 解的存在性唯一性定理和逐渐逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所浮现的多种现象并预测将来的也许状况在第二章简介了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解而实际问题中所需要的往往是规定满足某种初始条件的解因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也理解到初值问题的解不一定是唯一的。

她必须满足一定的条件才干保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其她理论的基本例如方程 过点的解就是不唯一，易知是方程过的解，此外，容易验证，或更一般地，函数 都是方程过点并且定义在区间上的解，其中是满足的任一数 解的存在唯一性定理可以较好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性此外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解自身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能拟定所求的是哪个解而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程 （3.1）这里是在矩形域： （3.2）上持续。

定理1：如果函数满足如下条件：1）在上持续：2）在上有关变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上持续，并且满足初始条件 （3.3）其中,称为Lipschitz常数.思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的持续解2） 构造近似解函数列 任取一种持续函数，使得，替代上述积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到 如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到 （3.4）于是得到函数序列.3） 函数序列在区间上一致收敛于，即 存在，对(3.4)取极限,得到 即.4) 是积分方程在上的持续解.这种一步一步求出方程解的措施——逐渐逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论以便,只考虑区间,对于区间的讨论完全类似.命题1 设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件 （3.3）的解,则是积分方程 (3.5)的定义于上的持续解.反之亦然.证明 由于是方程(3.1)满足的解,于是有 两边取到的积分得到 即有 因此是积分方程定义在区间上的持续解.反之,如果是积分方程(3.5)上的持续解,则 （3.6）由于在上持续,从而持续,两边对求导,可得 并且 ,故是方程(3.1)定义在区间上,且满足初始条件的解.构造Picard的逐次逼近函数序列. （3.7）命题2 对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，持续且满足不等式 （3.8）证明 用数学归纳法证明 当时，，显然在上有定义、持续且有 即命题成立. 假设命题2成立，也就是在上有定义、持续且满足不等式 当时， 由于在上持续,从而在上持续，于是得知在上有定义、持续,并且有 即命题2对时也成立.由数学归纳法知对所有的均成立.命题3 函数序列在上是一致收敛的.记,证明 构造函数项级数 (3.9)它的部分和为 于是的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计. (3.10)由Lipschitz条件得知设对于正整数,有不等式 成立,则由Lipschitz条件得知,当时,有 于是由数学归纳法可知, 对所有正整数,有 (3.11)由正项级数 的收敛性,运用Weierstrass鉴别法,级数(3.9)在上一致收敛.因而序列在上一致收敛. 设,则也在上持续,且 命题4 是积分方程(3.5)的定义在上的持续解.证明 由Lipschitz条件 以及在上一致收敛于,可知在上一致收敛于.因此 即 故是积分方程(3.5)的定义在上的持续解.命题5 设是积分方程(3.5)的定义在上的一种持续解,则,.证明 设,则是定义在的非负持续函数,由于 并且满足Lipschitz条件,可得 令,则是的持续可微函数,且,,,,,即,于是在上, 故,即,,命题得证.对定理阐明几点:(1)存在唯一性定理中的几何意义.在矩形域中,故方程过的积分曲线的斜率必介于与之间,过点分别作斜率为与的直线.当时，即,（如图(a)所示），解在上有定义；当时,即,（如图(b)所示），不能保证解在上有定义，它有也许在区间内就跑到矩形外去，只有当才干保证解在内，故规定解的存在范畴是. (2)、 由于李普希兹条件的检查是比较费事的，而我们可以用一种较强的，但却易于验证的条件来替代她，即如果函数在矩形域上有关的偏导数存在并有界，即，则李普希兹条件条件成立. 事实上 这里. 如果在上持续，它在上固然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数不一定有偏导数存在.例如函数在任何区域都满足李普希兹条件,但它在处没有导数. (3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为 易知,当在区间上持续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值所拟定的解在整个区间上有定义、持续. 事实上,对于一般方程(3.1),由初值所拟定的解只能定义在上,是由于在构造逐渐逼近函数序列时,规定它不越出矩形域,此时,右端函数对没有任何限制,只要取. (4)、Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充足条件，而非必要条件. 例如 试证方程 通过平面上任一点的解都是唯一的. 证明 时, ,在上持续, 也在上持续,因此对轴外的任一点,方程满足的解都是唯一存在的.又由 可得方程的通解为 ,其中为上半平面的通解, 为下半平面的通解,它们不也许与相交.注意到是方程的解,因此对轴上的任一点,只有通过,从而保证平面上任一点的解都是唯一的. 但是 由于,故不也许存在,使得 因此方程右端函数在的任何邻域并不满足Lipschitz条件. 此题阐明Lipschitz条件 是保证初值问题解惟一的充足条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程 (3.12)由隐函数存在定理,若在的某一邻域内持续且,而,则必可把唯一地表为的函数 (3.13)并且于的某一邻域持续,且满足如果有关所有变元存在持续的偏导数,则对也存在持续的偏导数,并且 (3.14)显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点的某一邻域中:ⅰ) 有关所有变元持续,且存在持续的偏导数；ⅱ）ⅲ）则方程（3.12）存在唯一的解 （为足够小的正数）满足初始条件 （3.15）1、 近似计算和误差估计求方程近似解的措施——Picard的逐次逼近法 对方程的第次近似解和真正解在内的误差估计式 （3.16）此式可用数学归纳法证明.。