专升本高等数学(―)模拟75一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、下列极限等于1的是扎tim吐理竺 B. lim哋琴 C. lim容|2、函数y = | x | +1在x=0处A.无定义 B.不连续C.连续但是不可导 D.可导y = — < e* + e * * )D・有增有减D・(一8, +°°)3、 函数 2 在区间(-1, 1)内A・单调减少 B・单调增加 C.不增不减4、 函数f (x)=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是A・(-8, 0) B. (-2, 2) C. (0, +-)5、若］ =〒■则煌皿血等于A. 2 B. 4 C. 8 D. 166、积分匚yirurA. -1 B. 0 C. 1D. 27、若『萨& = £,则&等于J111“8、设煌F判A. xyexy B・ x2exy C. exyD・（1+xy）尹D・W・A^1610、把两封信随机地投入标号为1, 2, 3, 4的4个邮筒中，则1, 2号邮筒各有一封信的概率等于b4 吩..吩llx填空题y = arctane1' t 则 yz12、y =0 •则:/丄3、设y=y （x）由x?+2xy-y2=2x确定，14、 曲线x2+y2=2x在点（1, 1）处的切线方程为 ・15、 曲线y=x3-3x2+2x+l的拐点是 ・17> fsin2xcosxdx 18、Inxd.r =19、I込若—』加_三、解答题 （解答应写出推理、演算步骤）21、22、厂卜e求 乂亡7血・23、 扛24、设f存在心—丄f J：v）十对飞工卡?・} •求孑专25、一个袋子中有5个球，编号为1, 2, 3, 4, 5,同时从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最 大号码，求随机变量X的概率分布.26、求y=f (x)=2x3-3x?-12x+14的极值点和极值，以及函数曲线的凸凹性区间和拐点.27、 设七=)十严,求也28、 当x>0时，证明：ex>l+x.答案: 一、选择题1> B［解析］lim mzy * 0 (arctarur是有界函数儿 J7卿=柬f 乂 1呦无穷小代甌曲叫7(「。
八lim — = X时丄为无穷小量「而$iru・塑有界国数，注意lim巴兰2、C［解析］从四个选项的内容来看•我们町以一步一步地处理"=0时〕=k lim ( ［x | + 1) = 1 ■故 /(.r)在 jt = 0 处连续.J・0y在工=0的可导性可从左右导数出发进行讨论.f(Q U —/X0)Zr—Arf (0) = lim4 -• (J1/{O 十 Ar) ~ /(0)lim由于厂,(0)工厂con所以f(2在上=0处不可导，故应选C.3、 D［解析］因为 v — Y( 0* ) •所以 y = +(c —C ' 几令 3/ = ()•得 x = 0；yf>0；当x<0时，yf<0,故在(-1,丄)内，函数有增有减.4、 B［解析］因为f (x)=x4 — 24x?+6x,贝Ijf 1 (x)=4x3-48x+6, f 1 f (x) =12x2-4 8=12 (x2-4), 令f 1 1 (x) <0,有x2-4<0,于是-2 — — ln( 1 + cos.r)J-f i + cos.?7、C［解析］•1■ ■8、D因*=工代価以务'=er［解析］ar9、B由竽=工丄•工a卜erEj,・,?入则［解析］注「邑可丸秤丄=1哦入■则M因『J严妆=+出Sy H心A>D, I I故$ > 0■由题总知半=从而k = 3.也3 ・ '宀-\-x * ery * 亍=(1 一卜 ^ry ) eJ?, ■=In^ 4-出‘ f财洋—丄+亡丁，所以李已y 丿 dy dri）十乱10、C［解析］因两封信投向四个邮筒共有的投法（可重复排列）为n=42=16；满足1, 2号邮筒各有一封信的5、,=川=2点所球概率为尸=空=春=上投法为 并 16 8二、填空题11> elim(l - -I3'=Ff 如 \ JT f［解析］ 丄 J12、由y［解析］广/ 1 、I=lim■•J1 + -^~L -f• c1 ■令.r — 0 g 则 yar：^T13、2/亠么口 一审=肚附边对工求导（注藏字足工的函数儿 因2工卡2> + 2^ry f — 2yy '=狙故_/ —三耳‘占壬可°’ —丄/工—Zy令p = ?.且y ［解析］14、 y=l-i ="所以切线方程一^ 则<［解析］由x2+y?=2x,两边对x求导得2x+2yyr =2,取y=1, y=l, ~为y=l・15、 （1, 1）［解析］T=3x?-6x+2, y1 f=6x-6,令y1 !=0,得x=l・则当x>l吋，y^>0；当xVl吋，工 ' <0.又因x=l时y=l,故点（1, 1）是拐点（Sy=x3-3x2+2x+l在（-°°, +°°）上处处有二阶导数，故 没有其他形式的拐点）.16、—富 H- 2卢—In ［ j* | + C(7r-D三 壬工专一加+ 2主寺一'Ln I jt I + C,［解析］ 317、一善曲工+ QjsinZrcoswrd 工 = 2sinzcxiw2.T(Lr =— Iscos^xdco&r18> 27［解析］1、LJ6丿— d疋t J10 —-6工+10—10 山.*t/10 — 6jt(10 ••— 6；r) 丁 d( 10 ~ 十J10 — 6 工=一輒 /10 - 6jrd.r十学「丁也一・f> J-i 6Jt V10 —i I ■百(10 — &⑦>r D — 6x>6—£1 工严 I •-I itl I -1 q 2=p-7 X(8 — 64.) —^；- X (2 — 4> k 命.b4 y . rd/=丄 x J..no — rt)t36 3性：本題可另解如下:令J1C1 一血=鞋则工=卡（10亠卅）・V19、Ji "10 — 6工1仏一扣)18—<10 — 46 I ]' e (f 2f.}dt E —：I 0 loJ 2A壽X（4―警〜+却=务本题需用分部积分法•［解析］"cI n j xl.r — ,rhiT(C — 1 ) = 1.20、解州珀—.则計R為三、解答题x2 (1 + —卫求)原式=!吧(]-/prZxi + /F=72)(1+ \/1 — X21、注；本题也可用洛必这法刚求解亠丽式=limAf 0—— = li m2 / —去：—21—厶JT 上士 ° 1 12 /I — F本题还可用变爺优换求解如下:令“I =毛、原式=Km k———=limd十.八—2.H E ——I |-＞］该极限属“讯一曲"型不宦式，可通分后求极限.•原式=恤咅古子=占去7”10+z=.!im•■卜门」曲字=j X/ (.ry〕4-丄/' ) ♦ $T・ yf + >) ►Sjt r j-则虚F —— grf'G?*} •疋十2［.「6丁}十刃"(卫了)•工］十.「Cr十刃+〉/"©•十》) a.Tdy 工 JT=,yf + /J(：r +、\ -卜*/"(上-|- y).一 口巳"｝卜］irri〔一 cD 利亠卜3=lim (1 — e ,:, ) — 1.相亠卜424、15m23、十 lim 1 e rdLr u tf-A 卜fJ n依题意価机变量X只能咖 3t5尼列X=时=吉=扫U =爵鉀｛“5｝=咅=蛊25、X3d5所的概率分布为p136 .110101026、y* =6x2-6x-12, y1 * =12x-6, 令y1 =0得驻点Xi=-1, x2=2 ,当X2=2时,y1 f=18>0.所以f (x)在x=2处取极小值-6・ 当xl=-l时,y^V0・所以f(x)在x=-2处取极大值21・乂令/ = 0•得』=£」＜ *时,/ V 0.从Ifij111］线为凸的•即函数曲线的凸IX： 问为(一八-4)；.r ＞寺时./ :＞。
•从丽曲线为凹的•即两数Illi线的I1!区间为 C +卜乂因幷；)=多故曲线的拐点为(|-y).由字一cost xy2) • y + er v * 2xy、OTF = cos(-rv ) • 2tv -卜 cr ?, • .r ・ dy -27、 所以社亠：」「0柠(」才)+ 土2丁心宀］山丨「2jrycosy ) + jtQ 叮dy28、 证法1：在［0,幻上令F(x)=b,则使用拉格朗口定理得， F(x)-F(0)=L(§) (x-0) , EGO, x) , BPex-l=e^ -x, 由于e^>l,所以ex-l>x,即ex>l+x.证法2：令G(x)=ex-l-x,贝ljGf (x)-ex-l,故在［0, x］内G1 (x) >0, 所以在［0, x］上G(x)单调递增，由G(0)=0,得x>0时,G(x) >0, 即ex-l-x>0,亦即ex>l+x.。
