多功能题典高中数学竞赛-37.doc
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第18章 不定方程18. 1分式方程18. 1.证明方程—+ — 4- — + — = //?对于m = 2与加=3没有正整数解兀，y , z, /.求出加=4 y z t x时方程的正整数解兀，y, z,解析 利用平均值不等式，当X, y, z, rwN时，有兰+丄+兰+丄$4』兰•丄上上=4,等号当且y z t x z t x仅当i=y=i=L时成立.y z t x显然，当加=2, 3吋，原方程没有正整数解.当加=4吋，- = ^- = - = - = 1,即x=y = z = t = k （k为 y z t x任意正整数）为方程的所有正整数解.18. 1. 2** 设n是给定的正整数，求丄=丄+丄，xHy的正整数解（兀，y）的个数.n x y解析 从原方程可以看出兀＞〃，于是令x = n + r 9 y =料 + s, 厂 H s •将它们代入原方程可得n2=rs,而〃 $的不同因数厂共有〃（川）个，由心s知心n.所以原方程的正整数解（x,刃的个数是J（n2）-1.18・1. 3★幺 求最小的正整数斤，使得有n个不同的正奇数西，兀2，…，满足1 1 1 t c—+——+…+——=1 • ①西勺 X”解析 - + - + - + - + - + - + — + — + — = 1・这表明n = 9时，①有符合要求的解.所以最小的3 5 7 9 11 15 35 45 231/? W 9 .因为丄+丄+丄+丄+ 丄 + 丄 cl, 所以农27.3 5 7 9 11 13假设72 = 7 .因为11111 1 1 ,一 + — + — + — + — + — + — < 1 ,3 5 7 9 13 15 17所以7个单位分数中必有｛丄，丄，丄，丄，丄.因为3 5 7 9 11丄+丄+丄+丄+丄+丄亠,3 5 7 9 11 15 17丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄<1,3 5 7 9 11 15 19所以7个单位分数中也必有丄13丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄3 5 7 9 11 13 231111111( 1 1 1 1 1 1 > 1 93 5 7 9 11 13 21所以/7 = 7时没有符合耍求的解.8个分母为正奇数的单位分数相加时，以这8个奇数的最小公倍数为公分母，通分后相加，分母是奇数,分子是8个奇数的和，从而分子是偶数，不可能与分母相等.即这8个分数的和不可能为1. 于是〃的最小值为9.18. 1. 4* 对每个自然数加，求方程—+ —+ —= m的所有整数解x、y > z,其中x、y > z两y z x两互质•解析 原方程等价于方程x2z + y2x + zb = nixyz，这里兀、八z为非零整数，且两两互质•于是y x2z , z y2x , x z2y .又(x, y) = 1 , (z, y) = 1 ,所以(Fz, y) = 1 .从 y x2z 得 y = ±1 ,同理可得 z = ±l , x = ±\ .若兀、y、z同正或同负，则从原方程得加=3.若x、y、z中两个为正，一个为负，或两个为负， 一个为正，则从原方程得加为负数，与题设矛盾.于是，原方程当加=3时，有两两互质的整数解兀，y , z,此时仅有两组解：x=y = z = \ , x=y = z = -\,当时，原方程没有满足题设条件的解.18. 1. 5* 求出方程丄+丄+ —+ - = 1的所有正整数解x、y z、t.且xWyWzWf.x y z t解析 若方程有解，则必须xW4.因为当时，由于兀WyWzW/,有丄+丄+ - + -<1.显x y z t 5然，我们也必须要求x2 2・于是，我们只需考虑三种情况：即兀=2, 3, 4.首先假设x = 2,此时有方稈2 1 1 1由于yWzWf,故-^1,即yW6・另一方而，由①式得-<-・即>93.所以y只能为3, 4, 5, y 2 y 26.如果)=3,那么丄=丄+丄冬2,所以ZW12,又丄v丄，故Z只可能为7, 8, 9, 10, 11, 12.当z = 76 z t z z 6时，得『 = 42,于是得到方程的一组解兀=2, y = 3, z = 7, r = 42；当z = & 9, 10, 11, 12时，分别得到 r 为 24, 18, 15, — , 12.于是得到方程的四组解：x=2, y = 3, z = 8, r = 24； x = 2, y = 3,5 ~z = 9, / = 18 ； x = 2 f y = 3, z = 10 , r = 15 ； x = 2, y = 3, z = 12 , t = 12若y = 4,则丄=丄+丄冬2,所以zW8 •又丄 ＞丄，故此时Z可能的值为5, 6, 7, 8.当z = 5, 6, 7,4 z r z 4 z8时，分别得到『为20, 12, —, 8.于是又得到方程的三组解：x = 2, y = 4, z = 5, Z = 20； x = 2, 3y = 4 , z = 6 9 r = 12 ； x = 2 , y = 4 , z = 8 , r = 8 .3 112若WJ —+ 得zW6，同时zN)=5・所以此时z只能为5. 6.当z为5, 6时，分10 z / z别得到r为10,匕・于是又得到方稈的一组解：兀=2, y = 5, z = 5, r = 10・21112若 y = 6,贝 ij — = —+ -W—,得 zW6,又 z$y = 6.所以 z = 6 .此时 t = 6 .于是 x = 2, y = 6, z = 6 , 3 z t z/ = 6为方程的一组解.与考虑x = 2时的情形一样，考虑无=3, 4的情形.可以得到方程的14组解xWyWzWf,即2, 3, 7, 42； 2, 3, 8, 24； 2, 3, 9, 18； 2, 3, 10, 15； 2, 3, 12, 12； 2, 4, 5, 20； 2, 4, 6, 12； 2, 4, 8, 8； 2, 5, 5, 10； 2, 6, 6, 6； 3, 3, 4, 12； 3, 3, 6, 6； 3, 4, 4, 6 与 4, 4, 4, 4.18. 1. 6** 证明：存在4个绝对值都大于1000000的整数a、b、c、d ,满足abed abed解析 取 G = -n， b = n + 1 , c = 〃(〃 + l) + l， d = +1)(〃(n + l) +1) + 1 ,贝！J1111 1 1 1 1 1 1= — ‘ ’ + — + = — ‘ ‘ + .abed /?(n +1) c d n(〃 + l)(n(n + l) + l) d abed〃可以任意地大，比如说大于1000000.这时G、b、c > 〃合乎要求.18. 1. 证明方程- + ^- + - + - = 1没有正整数解X、丿、z、t,但这个方程有无穷多组整数y z t x解 x、y z、t .解析 在兀、y、z、f为正整数时，由于兰、丄、兰、丄乘积为1,所以它们之中至少有一个不小 y z t x于1,故-+^+-+->1,即原方程没有正整数解.y z t x又因为x = -/?, y = n2(n2-\)t z = (n2-])\ / = -«(；?-1) ( «为任意大于1的整数)满足原方程，所以原方程有无穷多组整数解.评注 本题解的构造方法是选择t2 = -xz，则- + - = 0.再选择X、八z使兰+丄=1即"丄.剩t x y z y-x下的事是选择八 八 使二一为整数，-血为平方.除了上面的选择外，亦可选x=y-\, ®Jz = r , y-x而t2 = y2 (1 - y).于是y = 1 - n2, x = -n2 , z = (1 -z?2)", r = n(l-冋为方程的解，其中烈为任意整数.18. 1. 证明：如果$是不等于2的正整数，那么方程丄+丄+・.・+丄=1有一组全为三角形K 兀2 兀数的解.解析 设/”=也凹表示第几个三角形数，容易验证：丄=1,丄+丄+丄"，丄+丄+丄+丄=1.于2 A 匸2 ^2 <2 ”2 ，2 % %是可以假定s>4为整数.若s = 2k — \, k>2为整数，贝IJ1 I 1 £ + 1 2 2 2 2— + — + ••• + — + =——+ ——+ •••+ +-4 G ^-i S 2・3 3-4 (£-l)R k上式左边是仏-2) + (R +1) = 2R -1 = $个三角形数的倒数和.若s = 2k, k>2为整数,则当73时,-=1 .当"3时，2 1 1 1 k + 1 1 2 2 2 2, 1 1 1 1 1 = _ -1 1 1 h ; 1 =],g t3 t4 「_] tk 3 3・4 4・5 (k - \ )k k上式左边是伙-1) +伙+1) = 2£ = $个三角形数的倒数和.18. 1. X** 证明：对每个正整数s,方程丄+丄+…+丄=1有有限组正整数解“禺，…,X X. 兀，证明：首先，方程至少有一组止整数解我们来证一个更一般的命题：对于每个有理数G及正整数方程丄+丄+•••+丄=血只有有限（20） 组正整数解召，x2,…，xs.对S用归纳法：当S = 1时，命题是显然的.假设命题对正整数S成立，且正整数若，兀2,…，兀，£+1满 足方程— + — + ••• + — + -^― = 14 , ①石兀2 兀兀+1这里U是给定的正有理数.不妨设西…W兀W兀十 从①式知 —即—.于是西兀］ U只可能取有限个正整数，取定其中一数作为召，则X个整数心兀2,…，兀，兀+1满足方程尤2 “ 兀九+1 占根据归纳假设，方程②只有有限（20）组正整数解龙2,兀3,…，兀，兀+「因为比只能取有限个值，所 以命题对S + 1也成立.根据命题知道，原方稈只有有限组正整数解.18. 1. ］（）★★★证明：对每个整数5>2,方程丄+丄+ ••• +丄=1有一组严格递增的正整数解，并且证明：如果〈表示这个方程的正整数解的个数，那么/J+I>/5, 5 = 3, 4,....解析 容易验证，当5 = 3时，方程有一组严格递增的正整数解，即x,=2, x2=3, ^=6.如果对于整数$23,以及正整数x,
