绝对值不等式问题探讨.doc

绝对值不等式问题探讨高考说明：1、 理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式.2、 掌握最简单的绝对值不等式I X lv Q和I兀卜d的解法和几何意义.3n 掌握 I ox + 方 IS c、丨 ax + b In c、\x-a\ + \x-b\ c 不等 式的解法.［题根门解不等式2_5兀+ 51<1・［思路］利用I f(x) I 0) -a — 1 (2)［解題］原不等式等价于-\ — 1 (2)由(1)得：lvxv4；由(2)得：xv2 或兀〉3,所以，原不等式的解集为{xll

2)本题也可用数形结合法来求解在同一坐标系中画出函数y = |x2-5% + 5|与y = l 的的图彖，解方程卜5兀+ 5| = 1,再对照图形写出此不等式的解集第1变 右边的常数变代数式［变题门解下列不等式:(1)|x+1|>2-x5 (2) |x2-2x-6|<3x［思路］利用 I f(x) I g (x) Of(x)>g(x)或f (x) <-g (x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式纽来处理解：(1)原不等式等价于x+l>2— x或兀+1<— (2—x)解得x>-或无解，所以原不等式的解集是{兀|x>-}2 2(2)原不等式等价于一3x -3x J a 2 + - 6 > 0 J(x + 3)(x-2) > 0 J x < > 2^x2 -2x-6<3x ［无2—5兀一6<0 ［(x+l)O 一 6)<0 \-lg(x)型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：I fM lvg(x)l>g(x) o f(x)>g(x)或/(x)〈-g(x)第2变 含两个绝对值的不等式［变题 2］解不等式(1) |x-l|< x + a I； (2) I x-2 I + | x+3 I >5.［思路］(1)题由于两边均为非负数，因此可以利用I f(x) I〈 I g(x) I =>f2(x)

2)题可采用零点分段法去绝对值求解1)由于 x-1 NO,X + G NO,所以两边平方后有:即有/ ~2x+Kx2 +26/X + 6Z2,整理得(2d+2)兀>1一/当2a +2>0即a > —1时,不等式的解为x > — (1— a )；2当2 a +2=0即a =—1时，不等式无解；当2a+2<0即a< —1时,不等式的解为x<-(l-a)2(2)解不等式丨 x-2 I + I x+3 I >5.解：当 xW-3 时，原不等式化为(2~x) -(x+3) >5 —-2x>6 x<-3.当-35 => 5>5无解.当 x22 时，原不等式为(x-2) + (x+3) >5 =>2x>4 =>x>2.综合得：原不等式解集为{x I x>2或x<-3}.［收获］1)形如I /w KI g(x) |型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：l/(x) l f2(x)

零点分段 法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思 想方法，它可以把求解条理化、思路直观化第3变解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x的不等式Jx?—4加兀+ 4血2〉加+ 3［思路］木题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大若化简 成1兀-2〃2卜〃2 + 3，贝解题过稈更简单在解题过程中需根据绝对值定义对m + 3的正负 进行讨论［解题］原不等式等价于\x-2m l>m + 3当 m + 3 > 0 即 m > 一3 时， x-2m > m + 3或r 一 2m < -(m + 3)x〉3/7? + 3或x < m-3当 m+ 3 = 0 即 m = -3 时， lx + 6l>0 「.xh-6当加+ 3 v 0即m < -3时， xeR［收获］D 一题有多解，方法的选择更重要2)形ia\f(x)a(aeRy)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：%1 当d>0 W, I /(x) \a o f(x)>a 或/(x)v—a ；%1 当 a=0 时,\f(x)ao/(x)H0%1 当 avO 时,\f\x)\a /(x)有意义。

由(1) (2)知所求g取值范围是a W1解法二由I x-4| + |3-x |的最小值为1得当a>l时，丨x—4| + |3—兀有解 从而当a W1时，原不等式解集为空集解法三： Vii>| x-4| + |3-x |^| x-4+3-x |=1・••当d>l 时，|x-4| + |3-x|<6i有解从而当a W1时，原不等式解集为空集［收获］D 一题有多法，解题时需学会寻找最优解法2) f(x) a < f(A*)mjn ；这两 者互补/(x) a > / (x)nm o/(x)<6f 有解 na>/(x)min； / (^) < 解集为空集 Cl < f(X)mjn ；这 两者互补/(x) < a恒成立=> a > /(x)niax of(x)>a有解二5/(兀)皿；/(x)>6/解集为空集=>d >/(兀)mu ；这 两者互补f(x)>a恒成立=>c/a 有解=>0a 解集为空集=>a < f (x)nm ；这 两者互补f(x)>a恒成立=> 6/ < /(^)min o变题：1、 若不等式lx・4l+lx・3l>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围2、 若不等式lx・4l・lx・3lva的解集在R上不是空集，求a的取值范围3、 若不等式lx-4l-lx-3l>a在R上恒成立，求a的取值范甬第5变绝对值三角不等式问题［变题 5］己知函数 fd) = ax2+bx + c(a,b,cwR),当 xg［-1,1］HJI f(x) l< 1 ,求证: (1)1/?1<1 ；(2)^ g(x) =bx2 + ax+ c (a,b,c e R),则当 x g ［-1,1］时,求证：I g(x) l< 2 o［思路］木题中所给条件并不足以确定参数。