名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库.docx

名校高等代数考研《830高等代数》考研真题解析库北大重大第一部分名校考研真题第1章多项式―、判断题1•设Q是有理数域，则P二｛a+®|a,阻Q｝也是数域，其中〜厂.( )［南京大学研］【答案】对查看答案【解析】首先0 / 1eP , 故 P非空；其次令a = a1 + P1i/ b = a2 + P2i其中a1,a2,P1,P2为有理数，故a±b=(a1 + p1i)±(a2 + p2i) = (a1±a2) + (p1±p2) iePab=(a1 + p1i)(a2 + p2i) = (a1a2-p1p2) + (a1p2 + a2p1)ieP又令 c = a3 + p3i,d = a4 + p4i,其中a3 ,a4,p3,p4为有理数且 d/0，即a4/0 ,p4刃，有c/d =(吗—fid) /〔旳—/34j)(冬隔-屈04)—(屈召—他匸尸综上所述得P为数域.2 •设f(x)是数域P上的多项式,aeP,如果a是f(x)的三阶导数f (x)的k重根(k»1)并且f(a)二0,则a是f(x)的k+3重根•( )［南京大学研］【答案】错查看答案【解析】反例是f(x)二(x-a)k+3+(x-a)2,这里f(a)二0,并且 f"(x)二(k+3)(k + 2)(k+1)(x-a) k满足 a 是 f(x)的三阶导数 f" (x) 的k重根(k»1).3•设f(x)二x4 + 4x-3,则f(x)在有理数域上不可约.( )［南京大学研］【答案】对查看答案【解析】令x二y+1,则f(y)二y4 + 4y3 + 6y2 + 8y + 2,故由艾森斯坦因 判别法知，它在有理数域上不可约.二、计算题1.f(x)二x3 + 6x2 + 3px+8,试确定p的值，使f(x)有重根，并求其根.［清 华大学研］解：f'(x)二3(x2 + 4x+p) •且(f(x),f'(x))Hl,则f 6 3p 8 11 4 p■ • P il ■ *2| 8i廉4 •…(1)当 p二4 时，有(f(x),f(x))二x2 + 4x + 4 所以x + 2是f(x)的三重因式，即f(x)(x + 2)3,这时f(x)的三个根为-2 , -2,-2.(2)若p/4,则继续辗转相除，即1 -1 1 i15 」5p+5当 p二-5 时，有(f(x),f(x))二x-1即x -1是f(x)的二重因式，再用(x-1)2除f(x)得商式x + 8.故f(x)二X3 + bx2 - 15x + 8二(x-1)2(x + 8)这时f(x)的三个根为1,1,-8.2 •假设f](x )与f2(x )为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4 + x2 + 1整除f](x3)+ x4f2 (x3),试求f](x )与f2(x)的最大公因式•[上海交 通大学研]解：设6次单位根分别为2左加 2上矿s- = cos i sin .k = 0.L2.---.5上 6 6 由于 X6-1二(x2)3-1二(x2-1)(x4 + x2+1),所以 J，亏，^，% 是 乂4 + 乂2 + 1的4个根.由于电3二二-1,且x4 + x2+1|f] (x3 )+x4f2 (x3),所以，分别将勺，勺代入 f](x3)+ x4f2 ( x3 )可得(-1)二 0从而中-1)二f2(-1)=0即x+1是f](x)与f2(x)的一个公因式.同理，将 £2，£4 代入 f](x3)+x4f2(x3 )可得 f](1)二f2(1)二0,即x-1 是 f】(x)与f2(x)的一个公因式.所以(x-1)(x+1 )是f］(x)与f2(x)的一个公因式.又因为f( x)，2(x )为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以(f(x), g(x))=x2-1三、证明题1•设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f(x)二a0xn + a/n -i + ... + an-1x + an的根，正明：q|a°,p丨a」华中科技大学研］证明：因为p/q是f(x)的根，所以(x-p/q) |f(x)，从而(qx-p) |f(x).又 因为p,q互素，所以q x-p是本原多项式［即多项式的系数没有异于±1的公因子］, 且f(x) = (qx-p)(bn-1xn-i + . + b0/biez比较两边系数，得a0二qbn-1,an二-pb0 q|a0,p|an2•设f(x)和g(x)是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数.求证：f(x)|g(x)的充要条件是fk(x)|gk(x)［浙江大学研］证明：(1)先证必要性•设f(x)|g(x),则g(x)二f(x)h(x),其中h(x)eP(x),两边k次方得gk(x)二fk(x)hk(x),所以fk(x)|gk(x)(2 )再证充分性•设fk (x)|gk(x)(i) 若f(x)二g(x)二0,则f(x)|g(x)(ii) 若 f(x),g(x)不全为 0，则令 d(x)二(f(x),g(x)),那么 f(x)=d(x)f1(x),g(x)=d(x)g1(x),且(.(x^gnx))" ①所以 fk(x)=dk(x)f1k(x),gk(x)=dk(x)g1k(x)因为 fk(x)|gk(x),所以存在h ( x )eP[x] (x),使得gk (x)二fk(x)・h(x) 所以dk(x)g】k(x)二dk(x)f]k(x)・h(x),两边消去dk(x), 得g1k(x)二f]k(x)・h(x )@由②得f1(x)|g1k(x),但(f1(x),g1(x))=1,所以f1(x)|g1k-i (x) 这样继续下去，有 f1(x)|g1(x),但(f1(x),g1(x))=1 故f(x)=c,其中c为非零常数.所以 f(x)二d(x)f](x)二cd(x) f(x)|g(x)3•设f (x), g (x)都是P[x]中的非零多项式，且g (x)=sm (x)g1(x),这 里 m>1 .又若(s(x),g](x))二1,s(x)|f(x) •证明：不存在 f1(x), r(x)eP[x],且r(x)HO,d(r(x))vd(s(x))使/仗)_尸(工) £(对[浙江大学研]证明：用反证法，若存在f1(x),r(x )使①式成立，则用g (x )乘①式两端， 得f(x)=r(x)g1(x)+f1(x)s(x)②因为 s(x)|f(x),s(x)|f1(x)s(x),由②式有 s(x)|r(x)g1(x).但(s(x), g^x))二1,所以 s(x)|r(x).这与 d(r(x))vd(s(x)) 矛盾.4 •设f(x)是有理数域上n次[n>2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f (x )的一根的倒数也是f(x)的根.证明：f (x)每一根的倒数也是f(x)的根.[南开大学研]证明：设b是f(x)的一根,1/b也是f(x)的根•再设c是f(x)的任一根•下 证1/c 也是f(x)的根 令g(x)二f(x)/d,其中d为f(x)的首项系数，不难证明：g (x )与f(x) 有相同的根，其中g(x )是首项系数为l的有理系数不可约多项式.设 g(x)=xn + an_1xn-i + ^ + a1x + a0,( a0/O ) •由于bn + an_ibn-1 + ... + aib + ao = O ①(1/b)n + an_1(1/b)n-i + ... + a1(1/b)+a°二0da°bn + afn -1 + .. + a n_]b + 1 = 0=bn+(a1/a0)bn-1 + ...+ (a n_/a0)b + 1/ a0二0 ②由 g(x)不可约及①，②两式可得 1/a0 = a0,ai/a0 = an_i(i = 1 ,2,„, n-1).故 a0二±1—二士an_j(i二1,2,.., n-1)③由③式可知，当f(c)二0时，有f(c)二0,且g(1/c)二0,从而f(1/c)二0. 5•设f(x)是复系数一元多项式，对任意整数n有f(n)都是整数.证明：f(x)的系数都是有理数.举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n,有f(n)是整数•[浙江大学研]证明：设 f(x)二g(x)+ih(x),g(x),h(x)wR[x] 由于 Vn eZ , f (n) =g( n)+ih( n)wZ,所以 h (x)二0. 下证g(x)eQ[x] •事实上，令g(x)=a0 + a1x+. + amxm,am/0,aieR,i = 1,2，…，m 则有a. + a + . + a —g (1)eZ ,a +a ・2 + ... + a ・2m — g(2)eZ ,0 1 ma° + ai(m + 1)+... + am(m + 1)m二gm + juz.记,Q 10+1广丿L 2 T =,1 IT则有(a0,a],..,am)T二(g(1),g(2),..,g(m + 1)丿①又显见|T|二m!(m-1) !...2!1!北0,由①式得(a。

％...,%)二(g(1),g(2),...,g(m + 1))「i这里T-i是有理数域上的矩阵，g(1),g(2),..,g(m + 1 )均为整数，所以a0,a1,., ameQ •因此f(x)二 g(x)uQ[x].取 f(x)二 X2/2 -1/2 ,有 f(x)二(x -n)( x/2 + n/2) + ( n2-1)/2可见存在不是整系数的多项式f(x),对任一整数n，有f(n)二(n2 - 1)/2uZ.直庆大学2014年硕士研凳生人学肆域域題料目代码拠20科目名称：髙需代数总分沁50分：・■ * ■ !■ =■ ■■ r ■!!—a * •」■・■ ■-»- * r9^ P zsA* L 2 島―* 」T ■ = 5JK1" i~JE・ #4"詁事斗1寸 丨 呂归 TT特别提醒=丽仃誓系”节写在布刚肚上・直磁与优1AEB眺平帳职匚就兀朋1. （12^）证明：设P为任一览赣./（x）€fljrl>Jtttt大于誓的育…簣珂武.则 煮对是•个本可旳多顶式万幕的充翌義件为’対任童爭项式列力”耍么 SdgBW 嬰么对某一正匯数也狷/山血气巧.I 2 32, 知行列武3 2 I —貳求下丹1行河式；氛（20分）号誌竝阵彳二1 5 3工3 1i111 0 -12.y 2 23>3 + x1 1 H1 -r 2-y 3七2 1 33T1）当X稲，満足什么兼杵时冲可逆？Z） ^Jr = y=h试用西避方法戏出片的逆/T1.乳（15分｝山宀,…/」为复数域E上的何■空何卩中的iJti找竹无良向m1>试证眇h当n-3时.+x；kXj4jrj,Xj + jtJ也足一个线性无关向（tilb002 oIO OOO(]aa \2b[\ 2b1Mh < 1L7 # > 有-次鬱Ff亦心xju刑十需；中- 2和i十2啊耐.1） 白满足卄么条件时，/正定.2） 写岀/所対应的鉅阵月"当.4正罡时・求矩阵（7. R^I = CJC.第6章线性空间―、选择题1•下面哪一种变换是线性变换（ ）•［西北工业大学研］“3A・「—上「 - B・C・:.：【答案】C查看答案【解析】..■ ■ .不一定是线性变换，比如，：则■.也不是线性变换，比如 给一• •而■■ "■■■ 。