弦长的十种计算技巧.docx

弦长的十种计算技巧在圆中，弦长的计算是垂径定理的重要应用之一，常作垂直于弦的直径或半径但往 往只须作出弦心距作为辅助线构成直角三角形，计算弦长题目：已知OA、OB为0O的半径，OA丄OB,弦AD经过OB的中点C,OO的半 径为4cm，求AD之长作弦心距，构造直角三角形，计算弦长解：如图1所示图1 过点O作OE丄AD于点E,则AD=2AE 在 Rt^AOC 中，0A=4cm, OC=2 OB =2cm由勾股定理得AC — v OA2 + OC2 — 2j5cm, 又1 OA・OC -丄 AC・OE - OE - -心在 RtAAEO 中,AC • OE a OE —2 AC 8AE — xOA 2 - OE 2 —計 cm ,cm,5故 AD = 2 AE —16 J55 cm利用正切三角函数计算弦长题目和图同上解：在Rt^AOC中,tan ZOAC —OA — 2•cot ZOAE — OE / tan ZOACAE又在 Rt^AEO 中，cot Z OAE — a AE — OEOE—2OE8打— cm因此 AD — 2 AE —1^.5cm5三、利用射影定理计算弦长解：如图1在Rt^AOC中,OE 丄 AC a AO2—AE ・ AC a AE —ACcm（由解一可知AC = 2j5cm）则 CF = OF + 0C = 6cm,图2CB=20B=2cm1 < 花因此 AD = 2AE = —5— cm。

四、利用相交弦定理计算弦长n解：如图2,延长BCO交AD于点F,依相交弦定理有BC • CF = AC ・ CD n BC ・ CF = AC ・(AD - AC)BC • CFn AD = + ACAC16i5+ 2x5)cm = —5— cm五、利用切割线定理计算弦长解：如图3,图3同解一作OE丄AD于点E,则AD=2AE以点O为圆心，以OE为半径作辅助圆O,交OA于点F延长AO交辅助圆于点Go4^5(由解一知 OE = ~5- cm ),由切线判定定理知AE是辅助圆的切线，_AFG 是其割线，由 OE = OF = OG = 4|5 cm那么AF =OA — OF = (4 — 455)cmAG = (4 +cm从而依切割线定理得:AE2 = AF・AG n AE2 = (4 —空5)・(4 +cm于是AE故 AD = 2 AE =16、：5cm5六、作直径，构造直角三角形，计算弦长 解：如图4,延长AO交0O于点K,图4连结 DK,则 AK=2OA=8cm过点O作OE丄AD于点E,则AE=ED，又OA=OK,8 J5那么 DK 二 2OE = -^-cm由解知OE =4.5cm )在 RtAADK 中, I o ,'5ADr ak2-dk2 -严-F165 =—5— cm。

七、利用余弦三角函数计算弦长解：如图4所示，在Rt^AOC中,cos ZOAC =OA _ 2、污AC~ ~5~又在Rt^ADK中，ADcos XKAD = n AD = AK • cos /KAD AK=AK • cos / OAC八、利用三角形相似计算弦长解：同图4,在Rt^AOC和Rt^ADK中, /OAC = ZKAD,AO ACn AAOC^AADK n ——=——n AD AK…AO・AK 4 X8 16J5AD = = = cmAC 2寸5 5九、利用等积法计算弦长图5 sinZAOD = sin( ZOAD + ZODA)二 sin2 ZOAC二 2sin ZOAC • cos ZOAC4 _2扁2J5 — 52 <5=-2、5 5又在Rt^AOC中， cos ZOAC 二竺ACOCsin ZOAC 二 °CACsin ZAOD = 45而 S =丄 AD • OE = 1 AO • OD • sin ZAOD△AOD 2 242 乂 4 -AO2 • sin ZAOD 5 16、5OEn AD = = = cm4J5 5十、参数法计算弦长解：如图6所示，延长AO交0O于点K,连结DK,贝VAD丄DK。

过点D作DE丄AK于点E,过点C作CF〃OE交DE于点F 在 RtADEK 中，DE = DK • sin K = DK • cos A = AK • sin A • cos A=ak・ OCAO c 2 4=8 • •—=AC 2^5 2^516= cm5从而 DF = DE — EF =(耳—2) cm = 5 cm~r\ tt'(易知 EF = OC = 2cm )又 CF〃AE n= = 一AC EFDC令__ = k，则DC =皿6r\ 77» Q于是 AD = (k +1) AC,且 k = =—=,EF 2 53 16因此 AD = (k + 1) AC = (5 + 1) • 2y5cm = ―5— cm上文仅仅给出计算弦长的一些常用技巧、方法可能还有其他方法所举此例,只不 过作为解题教学中思维创新的一个引子而已一题多解,思维变换,是培养学生创新能力 的有效途径之一年级初中学科数学版本期数内容标题弦长的十种计算技巧分类索引号G.622.46分类索引描述与自学主题词弦长的十种计算技巧栏目名称学法指导供稿老师审稿老师录入蔡卫琴一校康纪云二校审核。