探索多边形的内角和与外角和.docx

探索多边形的内角和与外角和一、内容综述：多边形(n边形)：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面 图形凸多边形：如果沿着多边形任何一条边作直线，多边形均在直线的同侧 凹多边型：多边形存在若干这样的边，如果沿着这条边作直线，多边形在直 线的两侧正多边形：多边形的各边都相等且各角都相等对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段n边形的内角和=(n-2)・180°任意多边形的外角和都为 360°(外角和是指：每个顶点取且只取一个外 角)注意： (1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关； (2)凸多边形的内角a的范围：0°Va V180°二、例题分析： 例1、(1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的 每个外角度数是多少？(2) 几边形的内角和是八边形内角和的 2倍？(3) 几边形的内角和是2160°？是否存在一个多边形内角和为1000°？(4) 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2倍，求边数．分析：以上基础知识的掌握是解决下列问题的关键，通常利用方程的思想解 决解：(1)(22-2 )X180° =3600°18003600° 三 22= ( 11 )°1800 180180° - (11 )° = ( 11 )°(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍贝O(n-2)X180° =2X(8-2) X180°n=14(3)设 n 边形的内角和是 2160°贝 U(n-2)X180° =2160°n=14设n边形内角和为1000°，贝0(n-2)X180° =1000° 因为n不是整数，不符合题意。

所以假设不成立，故不存在一个多边形内角和为 1000° (4)因为一个多边形内角和等于外角和的2倍，所以：设边数为 n根据题意得：(n-2)X180° =2X360°, n=6例 2、(1)已知多边形的每个内角都是 135°，求这个多边形的边数； (2)每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求 这个多边形的边数分析：利用每一个内角和它的外角互补的关系 解： (1)因为多边形的每个内角都是135° ， 所以它的每一个外角都是45° ，360°三45° =8,这个多边形是8边形 (2)因为每个外角都相等，贝每一个内角也都相等设外角为x则内角为9x,因为每一个内角与它的外角互为邻补角， 所以： x+ 9x=180°x=18°因为多边形的外角和为 360°， 所以360°三18° =20，此多边形为20边形例3、(1)某多边形除一个内角a夕卜，其余内角的和是2750° .求这个多边 形的边数．(2)已知n边形恰有四个内角是钝角.这种多边形共有多少个？其中边数最 少的是几边形？边数最多的是 几边形？解：(1)因为凸多边形的每一个内角a的范围是：0°Va <180°， 所以设这个多边形的边数为 n，2750° +0°V(n-2)X180°V2750° +180°因为 n 为整数，所以 n=18。

2)解：因为n边形恰有四个内角是钝角，所以n边形恰有四个外角是锐 角，由于n边形个外角和是360°，所以外角中最多有3个钝角，① 若n边形恰有四个外角是锐角和一个钝角，则是五边形；② 若n边形恰有四个外角是锐角和两个钝角，则是六边形；③ 若n边形恰有四个外角是锐角和三个钝角，则是七边形； 其中边数最少的是五边形；边数最多的是七边形例4、已知：四边形ABCD中(如图)，Z A与ZB互补，ZC=90°, DE丄 AB，E为垂足.若ZEDC=60°，求 ZB、ZA及Z ADE的度数.解：因为，ZA+ZB=180所以 AD〃BC所以 ZC+ZADC=180°，因为ZC=90°，所以ZADC=90°又因为ZEDC=60°，所以ZADE=30°因为DE丄AB，所以ZAED=90°在厶ADE 中 Z ADE=30°，ZAED=90°，所以ZA=60°因为，ZA+ZB=180°，所以ZB=120° 例5、已知多边形内角和与某一个外角之和为1350°，求这多边形的边数. 解：因为凸多边形的每一个外角a的范围也是：0°va <180° 所以设这个多边形的边数为 n，1350° -180° <(n-2)X180°<1350° -0°因为n为整数，所以n=9。

答：这多边形的边数为 9例6、如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多 边形的内角和及对角线的总条数.解：解：设外角为x则内角为(4x+30°)因为每一个内角与它的外角互为邻补角所以：x+(4x+30° )=180°x=30°因为多边形的外角和为360°，所以360°三30° =12这个多边形的内角和为(12-2)X180° =1800因为12边形从任意顶点出发均可以画出 9条对角线所以对角线的总条数为：㊁X9X12=54这个多边形的对角线的总条数为X12XC12-3) =54例 7、如图，CD〃AF,ZCDE=ZBAF, AB丄BC,ZC=124° ,ZE=80° , 试求ZF的度数.解：连接 AD，在四边形 ABCD 中，ZDAB+ZB+ZC+ZCDA=360°因为AB丄BC,所以ZB=90°又因为ZC=124°，所以ZDAB+90124° +ZCDA=360°,ZDAB+ZCDA=146°因为 CD〃AF,所以ZCDA=ZDAF (1)又因为 ZCDE=Z BAF，所以Z BAD=Z EDA(2)由(1) ,(2)得 ZDAF+Z EDA=ZCDA+Z BAD=146° (3)在四边形 ADEF 中，ZDAF+ZEDA+ZF+ZE=360° (4)将(3)代入(4)得 ZF+ZE=214° 又因为ZE=80。

所以ZF=134°例8、如图，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°角，边长为：AB=2cm,BC=8cm, CD=11cm, DE=6cm.求这个六边形的周长是多少？分析：应当充分利用“凸六边形ABCDEF的六个角都是120°”，可以得重要结论：每个外角都是 60°，从而想到可以得到特殊三角形：等边三角 形！解涎长 AB,BA,CD,DC,EF,FE分别交于G,H,I三点由凸六边形ABCDEF的六个角都是120°得AAGF, △IBC, △DEH, △IGH都是等边三角形所以 BI=CI=BC=8cm，DH=EH=DE=6cm故 GI=GH=IH(=IC+CD+DH)=25cmGF=AF=AG=IG-AB-BI=15cmEF=GH-GF-EH=4cm・•・六边形 ABCDEF 的周长是 2+8+11+6+4+15=46(cm)例 9．多边形内角中，为什么不能有超过 3个的锐角？ 答：直接证明较困难，因而利用多边形外角和定理，采取反证法．证法提要：若有n(n$4)个内角为锐角，则与其对应的外角就有n(n$4)个钝 角，它们的和大于 360°，与外角和定理相矛盾．故得证．例 10．为什么“四边形的周长大于两条对角线长度之和？” 分析：先将问题转化为：“已知，求证”的形式。

已知：四边形ABCD得对角线AC与BD相交于E,求证： AB+BC+CD+DA>AC+BD证明：在厶ABD中:AB+AD>BD……(1)在厶ABC 中:AB+BC>AC……(2)在厶BCD 中:BC+CD>BD……(3)在厶 ACD 中:CD+AD>AC……(4)(1)+(2)+(3)+(4)得 AB+BC+CD+DA>AC+BD例 11、用正多边形铺地面，哪些正多边形可以铺得平整且无空隙？为什么？ 答：只有正三角形、正方形、正六边形由于要求铺得平整且无空隙，所以若干个正n边形的内角可以组成360°,k 为正整数)能够满足上面方程的n只有3, 4, 6。