2.1.1椭圆及其标准方程导学案lyt.pdf

1 彗星太阳PF2F12.1.1 椭圆及其标准方程导学案【学习目标】1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 【学习重点】：椭圆的定义和标准方程 【学习重点】：椭圆标准方程的推导 【学习过程】 一、自主学习1．1997 年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消 息 ，从 1997年 2 月中旬起 , 海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后 , 又将渐渐离去, 并预测3000 年后 , 它还将光临地球上空1997 年 2 月至 3 月间 ,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来， 海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）求轨迹方程的基本步骤：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,FF两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？1椭圆定义：轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的注意 :1. 椭圆定义中容易遗漏的两处地方：①两个定点 --- 两点间距离确定②绳长 -- 轨迹上任意点到两定点距离和确定思考： 1. 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2. 若 2a=21FF时，轨迹是什么？2a<21FF呢？2 2. 根据定义推导椭圆标准方程：椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,()0,(21cFcF，中心在坐标原点的椭圆的标准方程其中222bca注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换yx,轴）焦点则变成),0(),,0(21cFcF, 只要将方程12222byax中的yx,调换，即可得。

理解：1. 所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222byax与12222bxay这 两 个 标 准 方 程 中 ， 都 有0ba的 要 求 ， 如 方 程), 0,0(122 nmnmnymx就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1 byax类比，如12222byax中，由于ba，所以在x轴上的“截距”更大， 因而焦点在x轴上 (即看22, yx分母的大小 ) 可简记为 “谁的分母大，焦点在谁轴上”2.方程122ByAx表示椭圆的条件是方程122ByAx表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是方程122ByAx表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是方程122ByAx表示圆的条件是二、典例精析例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、 （4，0） ，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；（2）a=4,b=3, 焦点在 x轴；(3)a=5,c=2,焦点在 y轴上 . 已知三角形 ΔABC 的一边长为 6,周长为 16,求顶点 A的轨迹方程3 例 2. 两个焦点坐标分别是（0，－ 2）和（ 0,2 ）且过（ 23,25）分析： 有两种求法： 其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程例 3. 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P（) 31,31，) 21, 0(Q的椭圆的标准方程4 三、课堂练习：1椭圆1 92522yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（）A.5 B.6 C.4 D.10 2. 椭圆1 1692522yx的焦点坐标是（）A.( ±5，0) B.(0，± 5) C.(0 ，± 12) D.(±12，0) 3. 已知椭圆的方程为1 8222myx，焦点在x轴上，则其焦距为（）A.228m B.2m22C.282m D.222m4.1, 6 ca, 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是5. 方程1)42sin(322yx表示椭圆，则的取值范围是（）. 838Ｂ.kkk( 838∈ Ｚ）Ｃ. 838Ｄ . kkk( 83282∈ Ｚ）6．判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出cba,,的值①1 2222yx；②1 2422yx；③1 2422yx；④369422xy7椭圆191622yx的焦距是， 焦点坐标为； 若 CD 为过左焦点1F的弦，则CDF2的周长为四、课堂小结我的收获：本节课学习了椭圆的定义及标准方程, 应注意以下几点:①椭圆的定义中, 022ca； ②椭圆的标准方程中, 焦点的位置看x,y的分母大小来确定；③a、b、c的几何意义 我的困惑：。