罗尔定理-PPT课件.ppt

一、引理一、引理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理五、泰勒公式五、泰勒公式第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、引理引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有 则有 .二、罗尔定理定理4.1 设函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.罗尔定理几何意义： 若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.例如f(x)=|x|在[－1,1]上连续，且f(－1)=f(1)=1,但是|x|在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在 使 .又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在 ，使 .再如 f(x) 在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立. 例如 在[0,3]上不满足罗尔定理的条件 但是存在 ，使 .三、拉格朗日中值定理定理4.2 设函数f(x)满足(1) 在闭区间[a,b]上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.拉格朗日中值定理的几何意义： 如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.作辅助函数即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.弦线的方程为证 令由于f(x)在[a,b]上连续，因此 在[a,b]上连续.由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导.又由于因此 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即从而有 ，或表示为上述结论对b0时,试证不等式分析取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.即进而知四、柯西中值定理定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，则至少存在一点在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.五、泰勒公式由微分的概念知道，如果y=f(x)在点 处可导，则有从几何上看，上述表达式可以解释为:在点x0的附近用曲线y=f(x)在点 处的切线来代替曲线y=f(x).(简言之，在点x0附近，用切线近似曲线.)上述近似公式有两点不足：1. 精度往往不能满足实际需要；2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式.在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望能用多项式来近似表达函数f(x)，并使得当 时， 为比 高阶的无穷小,还希望能写出 的具体表达式，以便能估计误差.设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使与f(x)尽可能相近，希望可知从而得到由f(x)构造的n次多项式若用 在点 附近来逼近f(x)，有下列两个结论：(1)余项rn(x)=f (x)–Pn(x)是关于(x–x0)n的高阶无穷小，即(2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数，则rn(x)可以表示为综上所述，可以描述为：泰勒公式Ⅰ 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n阶导数，则当 时有泰勒公式Ⅱ 设函数f(x)在含x0 的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数，则当 时有通常称为f(x)在x0处的n次泰勒多项式.以上 展开式也称为f(x)的n阶泰勒公式.若在泰勒公式中令 ，则得到麦克劳林公式.其中 介于0与x之间.。