高中数学第一章《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案2新人教A版选修2-3.pdf

1 高中数学选修 2-3：第一章 “杨辉三角”与二项式系数的性质教案 2 例 4. 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：5552)2x()1x()2x3x(在 (x+1)5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为x5C15，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含 x 的项为x80 x2C415展开式中含x 的项为x240)32(x5)x80(1，此展开式中x 的系数为 240例 5. 已知n2)x2x(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C3n(n- 1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第 r+1 项为常数项，又2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT令2r02r510，.180)2(CT221012此所求常数项为180例 6 设231111nxxxx2012nnaa xa xa x，当012254naaaa时，求n的值解：令1x得：230122222nnaaaa2(21)25421n，2128,7nn，点评： 对于101( )()()nnnf xaxaa xaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值；令1,xa即1xa，可得奇数项系数和与偶数 项和的关系例 7求证：1231232nnnnnnCCCnCn2 证（法 一）倒序相加：设S12323nnnnnCCCnC又S1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCCrn rnnCC，011,nnnnnnCCCC，由 +得：0122nnnnnSn CCCC，11222nnSnn，即1231232nnnnnnCCCnCn（法二）：左边各组合数的通项为rnrC11!(1)!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCn CCCC12nn例 8在10)32(yx的展开式中 , 求: 二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 分析 : 因为二项式系数特指组合数rnC, 故在 , 中只需求组合数的和, 而与二项式yx32中的系数无关. 解：设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*), 各项系数和即为1010aaa, 奇数项系数和为0210aaa, 偶数项系数和为9531aaaa,x的 奇 次 项 系 数 和 为9531aaaa,x的 偶 次 项 系 数 和10420aaaa. 由于 (*) 是恒等式 , 故可用“赋值法”求出相关的系数和. 二项式系数和为1010101100102CCC. 令1yx, 各项系数和为1)1()32(1010. 奇数项的二项式系数和为910102100102CCC, 偶数项的二项式系数和为99103101102CCC. 3 设10102829110010)32(yayxayxaxayx, 令1yx, 得到110210aaaa(1), 令1x,1y( 或1x,1y) 得101032105aaaaa(2) (1)+(2)得10102051)(2aaa, 奇数项的系数和为25110; (1)-(2)得1093151)(2aaa, 偶数项的系数和为25110. x的奇次项系数和为251109531aaaa; x的偶次项系数和为2511010420aaaa. 点评 : 要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇 ( 偶) 数项系数和与奇( 偶)次项系数和”严格地区别开来, “赋值法”是求系数和的常规方法之一. 。