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巧解平均数问题（二）第3讲 巧解平均数问题（二）I 多个部分平均与全体平均方法和技巧（1）用“总数量÷总份数=平均数”直接求平均数2）借助“整体思考法”巧解题3）用“移多补少法”巧解题4）借助“整数化”巧解题例题精讲A级 基础点睛一、运用平均数的概念解题【例1】小张、小李两人的平均身高是1.70米，小李、小王两人的平均身高是1.74米，小王、小张两人的平均身高是1.60米问：小张、小李、小王三人的平均身高是多少米？分析与解小张+小李=1.70×2，小李+小王=1.74×2，小王+小张=1.60×2上面三式相加得 2×（小张+小李+小王）=1.70×2+1.74×2+1.60×2即 小张+小李+小王=（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2故小张、小李、小王的平均身高为 [（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2] ÷3=1.68（米）答：小张、小李、小王三人的平均身高是1.68米做一做1 A，B，C，D四位小朋友在一次测验中，A，B，C三人的平均成绩是80分；B，C，D三人的平均成绩是85分；C，D，A三人的平均成绩是83分；D，A，B三人的平均成绩是82分。

问：A，B，C，D四人的平均成绩是多少分？二、“整体思考”巧解题【例2】 赵、钱、孙、李四个小朋友，每两人合称一次体重，一共称了6次，其平均体重分别是34.5、33.5、36.0、35.0、37.5、36.5（单位：千克）问：这四位小朋友的平均体重是多少千克？分析与解1 依照例1的解法，每一个人与其他三个人都可以配对合称因此，在上面6个平均数中，每个人的体重都被计算了3次，详细地说，有（赵+钱）的体重=34.5×2………………………………………①（赵+孙）的体重=33.5×2………………………………………②（赵+李）的体重=36.0×2………………………………………③（钱+孙）的体重=35.0×2………………………………………④（钱+李）的体重=37.5×2………………………………………⑤（孙+李）的体重=36.5×2………………………………………⑥将上面6个式子相加，得 （赵+钱+孙+李）的体重×3=6次平均体重分别乘2的和即 （赵+钱+孙+李）的体重×3为 34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2（赵+钱+孙+李）的体重为 （34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2）÷3故赵、钱、孙、李四人的平均体重为[ (34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2)÷3]÷4=35.5(千克)分析与解2 求四个小朋友的平均体重，根据“总量÷总份数=平均数”，若能找到四个小朋友的总重量，问题即迎刃而解。

方法1：四人体重和：①+⑥（赵+钱）的体重+（孙+李）的体重=34.5×2+36.5×2(千克)四人平均体重：(34.5×2+36.5×2)÷4=35.5(千克)方法2：四人体重和：②+⑤（赵+孙）的体重+（钱+李）的体重=33.5×2+37.5×2(千克)四人平均体重：(33.5×2+37.5×2)÷4=35.5(千克)方法3：四人体重和：③+④（赵+李）的体重+（钱+孙）的体重=36.0×2+35.0×2(千克)四人平均体重：(36.0×2+35.0×2)÷4=35.5(千克)答：四位小朋友的平均体重是35.5千克做一做2 甲、乙、丙三个物体，两两合称一次，一共称三次，分别是30千克、28千克、26千克问：这三个物体平均重多少千克？三、“移多补少”巧解题【例3】 有1 000名大学毕业生参加公务员考试，录取了150人录取者的平均成绩与未录取者的平均成绩相差38分，全体考生的平均成绩是55分已知录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分，问：录取分数线是多少分？分析与解1 根据题意可知，未录取者的平均成绩比全体考生的平均成绩少38×150÷1 000=5.7（分），未录取者的平均成绩是55－5.7=49.3（分），录取者的平均成绩比未录取者的多38分，即49.3+38=87.3（分），录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分，即87.3－6.3=81（分）。

55－38×150÷1 000)+38－6.3=(55－5.7)+38－6.3=81(分)分析与解2 用长度代表人数，宽度代表分数，根据题意作出符合题意的图38IJDMA根据题意：S长方形AJFM=S长方形GHDF 6.3FG55H设DH=x，有 850Cx×850=(38－x)×150150BE 850x=5 700－150x x=5.7易知录取分数线为38－5.7－6.3+55=81(分)答：录取分数线是81分做一做3 200名小学生参加英语竞赛，有24名学生获奖获奖者的平均成绩与未获奖的平均成绩样差35分，全体参赛学生的平均成绩是60分已知获奖分数线比获奖者的平均成绩少5.8分，问：获奖分数线是多少分？B级 更上层楼四、“整数化”巧解题【例4】 某学校在报考的学生中只录取了考生人数的，被录取考生的平均分比录取分数线高10分，没有被录取考生的平均分比录取分数线低26分已知考生的平均成绩是70分，问：录取分数线是多少？分析与解 由于有的考生被录取，因此可以把被录取的学生人数算作1，没有被录取的学生人数算作3以录取分数线作为基数，没有被录取的考生的分数总共比录取分数线少了26×3=78（分），被录取学生的平均分总共比录取分数线多了10×1=10（分），合起来就得到所有考生的平均分总共比录取分数线少了26×3－10×1=68（分）因此，对所有学生来说，每人的平均成绩比录取分数线少了（26×3－10×1）÷（3+1）=17（分）即每一个考生的平均分70分比录取分数线少了17分，实际录取分数线是70+17=87（分）。

综合算式得：70+（26×3－10×1）÷（3+1）=70+17=87（分）答：录取分数线是87分小结 有人的解答过程如下，你能说出他的道理吗？70－（26+10）÷4+26=70－9+26=87（分）此外，你能给出本题的长方形图解法吗？做一做4 某校进行入学考试，所有考生的平均成绩是65分，从考生中录取了，这些考生的平均成绩比录取分数线高10分，其他没有被录取的学生平均分比录取分数纸低15分那么，录取分数线是多少？五、发散思考一题多解【例5】 A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余3个数求平均数，这样算了4次，得到这样4个数：45，60，65，70问：A，B，C，D这四个数的平均数是多少？分析与解 我们先分别去掉其中的一个数，可以求出其他三个数的和，即B+C+D=45×3=135A+C+D=60×3=180A+B+D=65×3=195A+B+C=70×3=210再把这四个式子相加得到3个A、3个B、3个C、3个D的总和，这样就可以求出A，B，C，D四个数的和，进而可求得A，B，C，D这四个数的平均数45×3+60×3+65×3+70×3)÷3÷4=(45+60+65+70)×3÷3÷4 =(45+60+65+70)÷4所以，可直接列出算式(45+60+65+70)÷4来解答。

其道理是将3个数求平均数，就是用每个数的相加，在4次计算中，每个数只出现了3次，也就是每个数的加了3次，正好是原数因此把45，60，65，70相加，恰好是A，B，C，D这四个数的总和，再除以4当然就是A，B，C，D的平均数了做一做5 有五个数A，B，C，D，E，每次去掉一个数，将其余4个数求平均数，这样计算了5次，得到这样5个数：17，25，27，32，39求A，B，C，D，E这五个数的平均数例6】 有四个数，每次选取其中的两个数，算出它们的和，再减去另外两个数的平均数用这种方法计算了六次，得到这样六个数：43，53，57，63，69，78问：原来四个数的平均数是多少？分析与解 由前几例的解法知，每次计算两个数的和，计算六次，等于每个数计算了三次，即四个数之和的3倍；每次计算两个数的平均数，计算六次，等于每个数计算了1.5次，即四个数之和的1.5倍，则有（六次“两个数的和”之和）－（六次“两个数的平均数”之和）=43+53+57+63+69+78变为3×（四个数之和）－1.5×（四个数之和）=43+53+57+63+69+78即 1.5×（四个数之和）=43+53+57+63+69+78 四个数之和=（43+53+57+63+69+78）÷1.5故四个数的平均数为[（43+53+57+63+69+78）÷1.5]÷4=60.5答：原来四个数的平均数是60.5。

做一做6 有四个数，每次选取其中的三个数算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到这样四个数：86，92，100，106问：原来四个数的平均数是多少？C级 勇夺冠军【例7】 从若干个连续自然数1，2，3，…中去掉三个后，剩下的数的平均数是19如果去掉三个数中有两个是质数，问：这两个质数的和最大是多少？解 因为1~39的平均数是20，所以剩下的数的个数应不大于39，又因为剩下的数的个数应为9的倍数，而不大于39的9的倍数最大是36，即剩下36个数，所以原有36+3=39（个）数1+2+3+…+39=78019×36=716780－716=64去掉三个数之和是64，64=4+29+31，因此两个质数的和最大为29+31=60做一做7 黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后，其余各数的平均数是35，擦去的数是 巧练习——温故知新（三）（I）A级 基础点睛1．设有A，B，C三个数，其中A和B相加是200，A和C相加是150，B和C相加是160求A，B，C这三个数的平均值2．某班第一小组有8位同学，第二小组有12位同学某次数学考试中，两组同学的平均分为83.8分，第一组同学的平均分比第二组同学的平均分高2分，求每一组同学的平均分。

3．某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次，结果前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成绩加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班同学的平均成绩这样做全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少4．某班女同学的人数是男同学人数的，男同学的平均身高是1 .65米，全体男、女同学的平均身高是1.59米问女同学的平均身高是多少米？5．A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了四次，得到下面四个数：23，26，30，33问：A，B，C，D四个数的平均数是多少？B级 更上层楼6．某次外语考试，钱、钱、孙、李、周五人的平均分数比孙、李、周三人的平均分数少4分，赵、钱两人的平均分数是75分，求五个人的平均分数7．一次测量身高，A，B，C，D，E五人的平均身高比C，D，E三人的平均身高矮4厘米，A，B两人的平均身高为165厘米，求五个人的平均身高8．有A，B，C，D，E，F，G七个数成。