江苏省2016年专转本高等数学试卷及解答.pdf

绝密★启用前 江苏省 2016 年普通高校专转本选拔考试 高等数学 试题卷 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共 3 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置． 3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号与黑） 1．函数( )f x在0xx=处有定义是极限0lim( ) xxf x →存在的（ D ） ． A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．无关条件 2．设( )sinf xx=，当0x+→时，下列函数中是( )f x的高阶无穷小的是（ C ） ． A．tan x B．11x−− C．21sinxxD．e1x− 解 00tanlimlim1sinxxxx xx++→→==， 001()1112limlimsin2xxxx xx++→→−−−== −，2001sin1limlimsin0sinxxxxxxx++→→==， 答案：C． 3．设函数( )f x的导函数为sin x，则( )f x的一个原函数是（ B ） ． A．sin x B．sin x− C．cosx D．cosx− 解 ( )sinfxx′=，1( )sin dcosf xx xxC== −+∫，( )f x的原函数112( cos)dsinxCxxC xC−+= −++∫，可见( )f x的一个原函数是sin x−（取120CC==），答案：B． 4．二阶常系数非齐次线性微分方程22 exyyyx−′′′−−=的特解*y的正确假设形式为 ( D )． A．exAx−B．2exAx−C．()exAxB−+ D．()exx AxB−+ 解 由220rr−−=得1212rr= −=，，可见1λ= −是特征单根， 因而可设特解*()exyx AxB−=+，答案：D． 5．函数2()zxy=−，则10dxyz===，（ B ） ． A．2d2dxy+ B．2d2dxy− C．2d2dxy−+ D．2d2dxy−− 解 2()zxyx∂=−∂，2()zxyy∂= −−∂，ddd2()(dd )zzzxyxyxyxy∂∂=+=−−∂∂， 10d2d2dxyzxy===−，，答案：B． 6．幂级数2 12nnnxn∞=∑的收敛域为（ A ） ． A．1 1[]2 2− ， B．1 1[)2 2− ， C．1 1(]2 2− ， D．1 1()2 2− ， 解 122222 2(1)limlim22(1)nnnnnn n n+→∞→∞+==+，收敛半径1 2R =，当1 2x = −时，级数2 1( 1)nnn∞=−∑收敛；当1 2x =时，级数2 11nn∞=∑收敛，因而收敛域为1 1[]2 2− ，，答案：A． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 7．极限10lim(12 )x xx →−= ▲ ．2e− 解 1 2220lim{[1( 2 )]}exxx−−−→+ −=． 8．已知向量(1 0 2)a =，，，(432)b =−−， ，，则(2) (2 )abab−⋅+=▲ ．－48 解 2( 2 3 6)ab−= −，，，2(962)ab+=−−，，，(2) (2 )48abab−⋅+= −． 9．函数( )exf xx=的n阶导数( )( )nfx = ▲ ．()exxn+ 解 ( )ee(1)exxxfxxx′=+=+，( )e(1)e(2)exxxfxxx′′=++=+，…，( )( )()enxfxnx=+． 10．函数211( )sin2xf xxx+=，则( )f x的图像的水平渐近线方程为 ▲ ．1 2y = 解 22111 11lim( )limsinlim222xxxxxf xxxxx→∞→∞→∞++==⋅=，所以水平渐近线方程为1 2y =． 11．函数2( )ln dxxF xt t=∫，则( )F x′= ▲ ．2ln2ln x+ 解( )ln22ln2ln22lnln2ln2lnF xxxxxx′=⋅−=+−=+． 12．无穷级数11( 1) 2nnn∞=+ −∑▲ ．（请填写收敛或发散）发散．．解 因为级数11 2nn∞=∑发散，1( 1) 2nnn∞=−∑收敛，所以无穷级数11( 1) 2nnn∞=+ −∑发散． 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） 13． 求极限201coslim()sinxx xxx→−． 解 2230001coscos sincos sinlim()limlimsinsinxxxxxxxxxx xxxxxx→→→−−−== 222001(2 )1cos222limlim333xxxx xx→→−===． 14． 设函数( )yy x=由方程exyxy=+所确定，求d dy x． 解 dde ()1ddxyyyyxxx+= +，d1e=de1xyxyyy xx− −． 15． 计算定积分511d1+1xx −∫． 解 511d1+1xx −∫1xt− =22200021d2(1)d2(ln(1))2(2ln3)1+1ttxtttt=−=−+=−+∫∫． 16． 求不定积分2lnd(1)xxx+∫． 解 2ln1ln1dln ddln(1)111xxxxxxxxx= −= −+++++∫∫∫ln11d11xxxx x= −+⋅++∫ln11lnln()dlnln(1)ln11111xxxxxxxCCxxxxxx= −+−= −+−++= −+++++++∫． 17． 求微分方程22sinx yxyx′+=满足条件( )0yπ=的解． 解 原方程可化为22sin xyyxx′+=，于是有2( )p xx=，2sin( )xq xx=，则方程的通解为 22dd( )d( )d2sine(( )ed)e(ed)xxp xxp xxxxxyq xxCxCx−−∫∫∫∫=+=+∫∫2211( sin d)( cos)x xCxCxx=+=−+∫， 由( )0yπ=得1C = −，因而所求解为2cos1xyx+= −． 8． 求由直线1l：111 131xyz−−−==和直线2l：11213xtytzt= + = + = +所确定的平面方程． 解 依题意所求平面经过点(1 1 1)，，，法向量13172123ijk nijk==−− ，因而所求平面方程为 7(1)2(1)(1)0xyz−−−−−=，即7240xyz−−−=． 19． 设22()zf xyyx=−−，，其中函数f具有二阶连续偏导数，求2∂ ∂ ∂z x y． 解 设2uxy=−，2vyx=−，则()zf u v=，，于是有 122zfufvxffxuxv x∂∂ ∂∂ ∂′′=+=−∂∂∂∂ ∂， 2 11222ffffzuvuvxx yuyvyuyvy′′′′∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+−+∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂111221221112222 (2)(2)2(41))2xfyffyfxfxyfyf′′′′′′′′′′′′′′=−+− −+= −++−． 20． 计算二重积分d dDx x y∫∫，其中D是由直线2yx=+，x轴及曲线24=−yx所围成的平面闭区域． 解 224242202021d dddd2yyyyDx x yyx xxy−−−−==∫∫∫∫∫222220014[(4)(2) ]d(2)d23yyyyyy=−−−=−=∫∫． 或4cos4cos3244 00001d dd( cos2)d( cos)d3Dx x yr rrrrππθθθθθθ=−=⋅−∫∫∫∫∫424244 006416(cos16cos)d(4cos3cos)d33ππ θθθθθθ=−=−∫∫244 00163161 cos43[(1 cos2 )(1 cos2 )]d[(1+2cos2 +)(1 cos2 )]d32322ππθθθθθθθ+=+−+=−+∫∫44 0088 114(cos2 +cos4 )d( sin2sin4 )33 243ππ θθθθθ==+=∫． u x f v y 2yx=+ x y O 24yx=− 2 2 2− 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．证明：函数( ) ||f xx=在0x =连续但不可导． 解 由 00lim( )lim|| 0(0) xxf xxf →→===，因而函数( ) ||f xx=在0x =连续。

因为 000( )(0)||(0)limlimlim1 xxxf xfxxfxxx−−−−→→→−−′==== −， ++++000( )(0)||(0)limlimlim1 xxxf xfxxfxxx→→→−′====，所以函数( ) ||f xx=在0x =不可导． 22．证明：当1 2x ≥ −时，不等式32213xx+ ≥ 成立． 解 设32( )213f xxx=+ −，2( )666 (1)fxxxx x′=−=−， 令( )0fx′=得1201xx==，， 因为(0)1f=，(1)0f=，1()02f −=，而32++lim( )lim (213) xxf xxx → ∞→ ∞=+ −= +∞，所以当1 2x ≥ −时，函数( )f x有最小值1()(1)02ff−==，因而，当1 2x ≥ −时，有( )0f x ≥，即有32213xx+ ≥． 五、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 23．平面区域D由曲线222xyy+=，yx=及y轴所围成． （1）求平面区域D的面积； （2）求平面区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积． 解 （1）平面图形面积13122 0 021( 11)d()4343Axxxxxππ=−+ −=+−=+∫； （2）旋转体的体积11222200[( 11)]d(22 1)dxVxxxxxxxππ=−+−=+−−−∫∫12 320117[(2)]32262xxxππππ=−−+=+． 24． 设函数( )f x满足等式2211( )2( )df xf xxx=+∫． （1）求( )f x的表达式； （2）确定反常积分 1( )df xx+∞∫的敛散性． 解 （1）设21( )daf xx=∫，则21( )2f xax=+，于是 2222111111( )d(2 )d(2)22af xxaxaxaxx==+= −+=+∫∫，解得1 2a = −．因而21( )1f xx=−． （2）2111( )d(1)df xxxx+∞+∞=−∫∫，由于2211111dlimdlim(1)1bbbxxxxb+∞→+∞→+∞==−=∫∫收敛， 而 11dlimdlim(1)cccxxc+∞→+∞→+∞==−= +∞∫∫发散．因而 1( )df xx+∞∫发散． O x y yx= 1 1 211yx=−+ 。