质数合数与分解质因数练习.docx

质数、合数与分解质因数一、教学建议【抛砖引玉】通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、合数、质因数和分解因数的概念，并 能运用概念进行判断，会把自然数按约数个数分类，能正确地把一个合数分解质因数培养学生观察、比较、抽象概括能力一）教学质数与合数教学质数与合数要注意抓住以下四点1. 从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手，引出质数和合数的概念要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、抽象、概括 得到清晰、准确的质数与合数概念例如：先说出下面各数的约数，再观察比较：哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？ 哪些数有两个以上的约数？1、 2 、3 、 4 、 5、 6 、7、8„19、 20只有 1 个约数的自然数有 1有两个约数（1 和它本身）自然数有2、3、5、7、11、13、17、19有两个以上约数的自然数有4、6、8、9、12、14、15、16、18、20通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念即一个数除了1 和它本身，不 再有别的约数，这个数叫质数通过只有两上以上约数的自然数观察、比较、抽象概括出合数概念即一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

2. 要明确“1”为什么既不是质数？也不是合数？“1”不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受1”不是质数，按质数定义去 解释有些学生想不通原因是受“一个自然数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1， 最大的约数是它本身”这句话的影响，认为1 有两个约数其中最小的约数是1，最大的约数 还是 1，所以“1”有两个相同的约数学生这样理解是有一定道理的这时老师要指出， 如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1 个约数如：4、25、49 等都存在这两个相 同的约数，因此我们说这些数分别有3 个约数，而不说它们分别有4 个约数因为1只有一 个约数，因此1 既不是质数，也不是合数3. 自然数的分类(1) 按自然数约数的“个数”这个标准分类，则自然数可分为三类即质数、合数和 1 三类自然数是无限的，所以质数和合数也是无限的2) 按每个自然能否被2 整除分类，则把自然数分两类即奇数和偶数自然数是无限的所以奇数和偶数的个数也是无限的4. 运用质数、合数概念，判断一个数是质数还是合数可以加深学生对质数、合数的理解例如：下面哪些数是质数？哪些是合数？19、 21、 87 、 35、 38、 72 、43 、 67 、2 、 89、 97、 54通过检查各数约数的个数，可以知道：21、 87、 35 、 38、 72、 54 是合数19、 43、 67 、 89、 97 是质数判断一个数是质数还是合数，一般有三种方法：(1) 如上述方法就是检查每个数约数的个数，根据质数、合数的定义进行判断；(2) 查质数表；(3) 用试除的方法。

记住 20 以内 2 、 3 、 5、 7 、11、 13 、 17、 19 这 8 个质数，试除时， 看这个数除了1 和它本身以外，能否被其他数整除若能则是合数；若不能则是质数为了迅速判断一个数是质数还是合数，能够根据2、3、5 整除数的特征进行判断尽量运 用特征判断如判断237980 这个数，它是质数还是合数因为这个数个位上是0，因此 这个数除了1 和它本身外，至少还有一个约数2，所以这个数是合数)对于数较大，不能直接看出它是质数还是合数的就用试除法比如判断91 是质数还是合数可以用91宁7=13, 91能被7整除，可以断定91是合数 (二)教学分解质因数要注意以下三个问题1 •切实拿握质因数、分解质因数的概念例如：把12、35. 42.龙写戚几个质数相乘的形式-可以这样想：先利用乘法口决写出乘法式子，再变为几个质数相乘的形式-123X43X2X235=5X77212=2X2X3S X ? 八/\ 2X4X3X3 /\ 2X2X2X3X372=2X2X2X3X3427X 67X2X342=2X3X7通常要按质数的犬小，从小到丈写戚相乘的舷式-从上面的例子可以看出，任何一个合数都可以写戚几个质数相乘的形■式，这几个质数 叫做这个合数的质因数口把一亍合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数-例12=2X2X3叫做把12分解质因数-2. 掌握分解质因数的两种方法分解质因数的过程，就是求这些质因数的过程。

把一个合数分解质因数有两种方法一种是利用乘法口诀分解质因数例如：直接把下面各数分解质因数21、 34、 52 、 28、 60、 75 、90 解答时可以这样想：先把这个合数分解成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数， 就算分解完了；如果因数中还有合数，还要继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止（如课本?5例 2）这是分解质因数的最基本方法另一种是用短除法分解质因数用短除法分解质因数，应注意除数一定是质数，并且一般是按照质数从小到犬的顺序, 看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到得出的商是质数为止-然后把各个 除数和最后的商写戚连乘的形式-比如2 |如2 | 1202 | 602 303 IE240=2X2X2X2X3X5工能灵活地应用质数、合数、分解质因数等概念，进行一些判断-目的是巩固所学知识・ 比如：⑴质数都是奇瓠 (X)合数都是偶数-(X)卩)除2以外，所有质数都是奇数-(V )〔4)4是自然数中最小的合数-(7)(5)24分解质因数可農写戚：24=1X2X3X4O (X)【指点迷津】1. 件么叫爲法？怎样用筛法编制1叩以內的质数表谛法是用来寻找不超过自然数N (N>1)的所有质数的一种方法-这种方法是由公元 前三世纪的古希腊学者埃拉托斯特尼发明的，所以又叫做埃拉托斯特尼筛-埃拉托斯特尼把数写在涂了一层蜡的纸上，在写着合数的地方用针刺上一个小孔，于是 剩下的都是质数。

而这块涂蜡的纸被刺成筛子一样，因此这种求质数的方法就叫筛法怎样用筛法编制100 以内的质数表呢？在自然数中第一个数是 1，它既不是质数也不是合数，把它除外第二个数是2，它是 质数，把它保留，并且把2 的倍数都划掉紧靠2 后面没被划掉的是3，3 是质数，把它保 留，并且把3所有的倍数划掉紧靠3 后面的是5，5是质数，把它保留，并且把5的倍数 都划掉„„用这样的筛法，把100 以内的所有合数全部筛掉剩下的就是质数请同学们按上面介绍的方法制作一个100 以内的质数表2. 质数、因数、质因数、分解质因数有什么不同？一个数除了1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数它是1 个独立存在的数 比如 17 是质数，因为它只有1 和 17 两个约数在乘法中，被乘数和乘数都叫因数例如：2X3=6, 2和3是6的因数6的两个因数2和3，同时又都是质数因此，我们把2和3又叫做6的质因数每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如：36=2X2X3X340=2X2X2X5其中2、2、3、3 是36的质因数；2、2、5 是40的质因数。

因数与积相关联，因数不能单独存在比如 2和3是6 的因数，而不能说2和 3是因数， 必须说明是谁的因数因数可以是质数也可以是合数(如5 X 6=30，其中6就是合数)，而 质因数，要求因数本身还必须是质数比如30=2 X 3 X 5，30 的三个因数都是质数所以可 以说30的质因数是2、3和 53. 在分解质因数时，要防止发生以下几种错误1) 没有坚持一直用质数作除数，因此造成分解式中出现合数如把280 分解质因数1) 没有坚持一直用质数作除数，因此造戚分解式中出现合数-如把2切分解质因数-1\ 2804 1405T35~ 1~ 280=2X4X5X7(2) 没有分解到商也是质数-造戚分解式中出现合数・2 2802 p40~2 |7035280=2X2X2X35(3) 在分解式中有“工出现口2 2802 TOO-2T70-5 I35- 丁 一H — 280=2X2X2X5X7X1(4) 把分解式写戚乘积式(即写反)2 |颇2 | 1402 705 J35~7 2X2X2X5X7=2802把下面各数分解质因数，并说出分解质因数的方法5449603425474926028432772302423g49=7X73I5-32135754=2X3X3X360=2X2X3X584=2X2X3X7二、学海导航【思维基础】1. 说出什么叫质数？什么叫合数？并判断下面各数哪些是质数，哪些是合数。

3、27、 41、6、11、19、69、57、97一个数如果只有1 和它本身两个约数，这样的数叫做质数（也叫做素数） 一个数如果除了1 和它本身还有别的约数这样的数叫做合数质数有：3、41、11、19、97合数有：27、6、69、57把一个合数分解质因数，先用一个能除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得 出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数；就照上面的方法 继续除下去，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式3•判断下面的说法对吗？正确的画“丁”，错的画“X”1）在自然数中除了质数就是合数 ）（2） 一个合数至少有 3 个约数 ）（3） 3 和 5 是质因数 ）解：（1） （X）即不对因为自然数按约数个数分三类就是自然数包括质数、合数和 1而这种说法显然把自然数按这样的分类标准分了两类，丢掉了“1”这一类2） （J）即对因为合数的定义是一个数除了 1和它本身以外，还有别的约数，这个 数叫合数这里的“还有别的约数”的意思至少有1 个约数至少这 1 个约数再加上1 和它 本身的两个约数就是至少3个约数因此这种说法是正确的3） （X）即错。

3和5都是质数质因数是与积相关联，它不能单独存在质因数， 要求因数本身还必须是质数比如15=3X5, 3和5都是15的质因数学法指要】例1. 210=2X3X5X7,你能从这个式子中知道210除了有约数1以外，还有哪些约数 吗？分析：凡是能被210整除的数都是210的约数怎样才能做到找准、找全呢？那就要分 类找一类是显露的约数即2、 3、 5、 7四个约数另一类是隐含约数这一类先找全两个 因数的积即（2X3）（2X5）、（2X7）、（3X5）、（3X7）、（5X7）；再找全三个 因数的连乘积即（2X3X5）、（2X3X7）、（3X5X7）、（2X5X7）；最后找四个因 数的积即（2X3X5X7）这样分类找210除了约数1夕卜，其它15个约数就能找全了解： 210除约数1外的约数有2、 3、 5、 7、 6、 10、 14、 15、 21、 35、 30、 42、 105、 70、 210例 2. 4500 的约数共有多少个？分析：可以利用积与因数的关系，一对对找出4500 所有约数，然后再数出它们共有多 少个就行了但是，因为4500 数很大，用这种方法做很麻烦，而且往往会遗漏，借助于分 解质因数的方法求较大数约数的个数比较简捷比如，。