回归课本培养学生的解题能力.doc

回归课本培养学生的解题能力课本是中学数学教学的依据，是高考命题的源泉，而例 (习)题是教材的重要组成部分,这些例(习)题是编者从 茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的，是学生掌握双 基的重要来源，也是教师传授知识的纽带,它蕴含着丰富的 教学功能，处理好例(习)题的教学，对教学质量大面积的 提高、学生智力的发展、解题能力的培养都是至关重要的.1引申拓广，培养解题的发散性教学中，若对一些典型的例、习题进行变式处理，如改 变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等，即可 以在一题多解过程中，使得学生在知识及方法的纵横方向分 别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维.例1 1数学必修4尸122第3题证明 对任意a,b,c,deR , 恒有不等式(ac + bd)2<(a2 + b2) (c2 + d2) ( 1 )先让学生推证，发现他们用比较法、综合法、反证法、 放缩法都可以得到证明.此时进一步追问：能否有更新颖的证 法呢?引导学生抓住“a2 + b2”、"c2 + d2”、"ac + bd”的结构 特征，因此可考虑用构造法证明.证法1 (向量法)构造向量 u = (a ,b),v = (c ,d),uv = |u||v|cos0(其 中。

为向量u与v夹角)则ac + bd = a2+b2c2+d2cose,(ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)cos20<(a2 + b2)(c2 + d2)证法2 (构造三角形)利用“三角形的两边之和大于第三 边”(上图中OBCA为平行四边形)由|0A| + |0B| > |AB|及 |0A| + |0B| > |OC| ,不等式(1)迅速得证.由解法一不少学生都能发现a与b , c与d可交换位置.［变 1 ］求证:(a2 + b2)(c2 + d2)>(ad + be) 2(2)［变2 ］ (1)式两边开方可否？求证：a2+b2c2+d2>|ac + bd|(3)［变3 ］ (3)式右边去掉绝对值可否？求证： a2+b2c2+d2>ac + bd ⑷对于(1)式能否有更深刻的变化呢？将不等式(1)字母分 别排序，得(a21 +a22)(b21 +b22)>(a1b1 +a2b2)2(5)通过分析知道，可以按字母增加的方向演变.［变 4］设 a1、a2、a3、b1、b2、b3eR ,求证:(a21 + a22 + a23)(b21 + b22 + b23)>(a1b1 + a2b2 + a3b3)2(6)此时，利用学生的连续思维所产生的思维惯性，教师因 势利导，把问题推广.设 ai,bieR(i = 1,2 n)，则(a21 +a22 + ... + a2n)(b21 + b22 + ... + b2n)>(a1b1 + a2b2 + ... +anbn）2（当且仅当ai = kbi时，取"=”号）这是一个重要的定理，叫柯西不等式.不等式（5）、（6）即柯 西不等式当n = 2和n = 3时的特例.如此层层推进，使结论 更加完美，更具有普遍性.上述对原题从不同角度进行演变和多解，这样从一题多 变到一题多解，使知识横向联系，纵向深入，拓宽了学生的 思路，培养了学生解题的发散性.2. 融会贯通，培养解题的灵活性数学中有很多知识是相互联系的，现行新教材特别注意 用联系的观点处理问题，课本中例、习题为我们提供了充足 的素材和广阔的空间.因此，在教学中充分利用课本例、习题 之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律，引导学生串 通教材，做到融会贯通，开阔学生的视野，增强学生思维的 灵活性.如研究空间面面关系，线面关系，线线关系时经常要 用到转化思想方法来解题，通常有关线面平行、垂直的问题 可转化为线线平行、垂直的问题，而有关面面平行、垂直的 问题可转化为线面平行、垂直的问题.例2数学必修⑵P72例3 , AB为。

0的直径，PA垂直于所在的平面，C是周上不同于A,B任意一点，求证:平面PACj■平面PBC.证明：PA平面ABCBC 平面 ABCPABCACBCBCj_平面 PACBC平面PBC面 PAC 面 PBC这是一个典型的通过线线垂直去证线面垂直再去证面面 垂直的例子，这样解剖一例串通一片，揭示了问题的本质， 勾通了内在联系，使学生学过的知识结构化，系统化，学生 的思维灵活性得到有效激活.3. 标新立异，培养解题的创造性例、习题教学中，在学生掌握基本方法的同时，应有意 识地创设新活的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与 教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位地思考问 题,鼓励学生标新立异、探究新解，达到开拓学生思维、锻 炼学生思维创造的目的.例3数学必修(4)P111例7,已知A(-1 ,-1 ),B(1 ,3 ), C(2,5)试判断A、B、C三点之间的位置关系.=|这是一道基本题，但应要求学生尽可能多地进行多方位、 多层次的联系,寻求不同解法，如一些学生仅想到一些常规 解法：(1 )证明|AB| + |BC| = |AC| ;( 2 )证明点B在直线AC ; ( 3 )证明直线AB、AC的方程相同或斜率相等.而 有一些同学，联想宽广深刻,不但有上述解法，还得到了如 下的非常规解法 4 )证明点C到直线AB的距离为0(5) 证明^ABC的面积等于零；(6 )证明点B是有向线段AC的一个定比分点，显然后者的解法较之于前者，更难想到， 更独到，因而更具有创新性，有利于培养解题的广泛性、创 造性4. 联想转化，培养解题的广阔性数学是一个具有内在联系的有机整体，不同分支，不同 部分都是相互联系、相互渗透的，解题方法、解题思路更是 如此，因而，在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生 类比、联想、转化的方法，以提高学生分析问题、解决问题 的能力，促进知识的正向迁移，培养解题的广阔性.例4高中数学必修第二册(上)29页例1已知 a2+b2=1,x2+y2=1 .求证:ax+by<1.分析1用比较法.本题只要证1-(ax+by)20.为了同时利用 两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决.证法1v 1 -(ax+by)=12(1+1 )-(ax+by)=12(a2+b2+x2+y2)-(ax+by)=12 [ (a2-2ax+x2)+(b2-2by+y2)] =12 [ (a・x)2+(b・y)2 ] >0, /.ax+by<1.分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已 知的条件、定理和性质等，得出正确的结论.从而证明原结论 正确.分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件.因此，证 明过程必须步步可逆，并注意书写规范.证法2要证ax+by<1.只需证1-(ax+by)>0,即 2-2(ax+by)20,因为 a2+b2=1,x2+y2=1.pjf以只需证(a2+b2+x2+y2)-2(ax+by)>0,即(a-x)2+(b-y)2>0.因为最后的不等式成立，且步步可逆.所以原不等式成立.分析3运用综合法(综合运用不等式的有关性质以及重 要公式、定理(主要是平均值不等式)进行推理、运算，从 而达到证明需求证的不等式成立的方法)证法3•.ax