窄带激励下强非线性duffing+系统.pdf

第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 窄带激励下强非线性 Duffing 系统 窄带激励下强非线性 Duffing 系统 徐伟 1, 贺群2, 戎海武3, 方同1 （1.西北工业大学, 西安 710072; 2.武警工程学院，西安 710086; 3.佛山大学, 广东佛山 528000） 摘摘 要： 要： 将由有界噪声模型表示的窄带激励应用于强非线性Duffing系统的研究, 用变换法将模型变为相 应的弱非线性系统, 用多尺度法, 严格推导了系统的约简方程, 对约简方程用扰动法得到了相应的 Ito 方程, 用矩方程法对 Ito 方程作了研究， 得到了二阶稳态矩相应的结果表明, 系统可有两个不同的稳态响应, 随着 激励带宽的增大，此扩散极限环的宽度将增大 关键词： 关键词： 强非线性 Duffing 系统; 窄带激励; 多尺度法; 多解现象 Response of a strongly nonlinear Duffing oscillator to narrowband random excitations XU Wei1, HE Qun2, RONG Hai-wu3, FANG Tong1 (1. Northwestern Polytechnical University, Xi’ an 710072; 2. Armed Police Forec’s University of Engineering, Xi’ an 710086; 3. Foshan University, Foshan 528000) Abstract: The principal resonance of a strongly nonlinear Duffing oscillator subject to narrowband random excitations has been studied. By introducing a new expansion parameter, the method of multiple scales is adapted for the strongly non-linear system. The behavior of steady state responses, together with their stability, and the effects of system damping and the detuning, and magnitude of the random excitation on steady state responses are analyzed in detail. Theoretical analyses are verified by some numerical results. It is found that when the random noise intensity increases, the steady state solution may change form a limit cycle to a diffused limit cycle, and the system may have two different stable steady state solutions for the same excitation under certain conditions. The results obtained for the strongly nonlinear oscillator complement previous results in the literature for weakly non-linear systems. key words: strongly nonlinear Duffing oscillator; narrowband random excitations; method of multiple scales 基金资助：国家自然科学基金(10072049) 1 1 引言引言 目前，非线性随机系统的大部分成果都属于对弱非线性和宽带激励的讨论。

然而，实际中很多 情形下, 系统是强非线性, 激励是窄带随机过程而且与弱非线性和宽带随机激励相比，在窄带随机 激励下的强非线性系统的非线性效应更为突出，研究起来也难些，目前尚无有效的解析方法因此， 研究强非线性系统对窄带随机激励的响应具有重要的理论与实际意义 对于Duffing系统在随机激励下的响应、稳定性和分岔的研究，目前已有一些成果，但大部分采 用的是数值模拟法，亦有一些文献采用等价线性化方法，1985 年T. Kapitaniak[1]用数值方法-路径积 分法研究了 Duffing’s oscillator的响应, 1987 年T. Fang and E. H. Dowell[2] 用数值模拟方法分析了 Duffing 系统的跳跃现象, 1990 年，H. G. Davis and Q. Liu [3]用数值模拟方法分析Duffing oscillator 响 应的概率密度, 1993 年, W. Q. Zhu and M. Q. Lu [4]用数值模拟方法分析了Duffing oscillator 的随机跳 跃现象和分岔行为本文将由有界噪声模型表示的窄带激励应用于强非线性Duffing系统的研究，采 用变换法将模型变为相应的弱非线性系统, 然后用多尺度法对其进行研究，得到约简方程, 在此基 础上用扰动法和矩法对其进行研究, 给出响应均值和方差, 用数值模拟结果表明方法是有效的。

2 基本结论基本结论 考虑如下窄带激励下强非线性 Duffing 系统 (1) )(22 3 tuuuuεξεεη=+++&& & 式中η为系统的阻尼系数，这里的强非线性系统指的是ε不要求是一个小量，)(tξ是零均值随机噪 声项本文采用Wedig[5]提出的统一的模型 ))(cos()(tWtptγξ+Ω= (2) 式中为随机激励的强度，Ω为随机激励的中心频率，为标准Wiener过程, 0h)(tW0≥γ为随机 激励的带宽由Wedig[5]可知)(tξ的功率谱密度为: 422 4 22 4 2222 ) 4 ( ) 4 ( 2 1 )( γω γ ω γ ωγ ω ξ ++−Ω ++Ω = p S (2) 当带宽0→γ时，)(ω ξ S在Ω±=ω处取值为无穷大而在其它处的值趋于零，这是一种典型的窄带 噪声的功率谱密度；当∞→= 2 γ p时，)(ω ξ S趋于常数 1，为白噪声(典型的宽带噪声)的功率 谱密度本文研究当0→γ时的情形，此时模型（1）也可看作在窄带随机过程激励下的模型令 为 u 的稳态响应的一阶近似的振幅的均值，首先对(1)做如下变换，令 0 a tTΩ= ，则(1)变成如下形 式 2 (4) W(T))pcos(T2 2 32 γεεεη+=++Ω+Ωuuuu&& & 其中的“.”表示对 T 的导数，假设是(1)稳态响应的首次近似的振幅的均值，并假定它是 0 aε的一 个函数，引进新的参数α 3 1 ) 34 4 1 ( 3 1 34 2 0 2 0 2 0 + −= + = aa a εε ε α (5) 从(5)中可以看到对于任何的 ， 2 0 aεα是一个小量并且由(5)可以求出 ) 31 4 ( 1 2 0 α α ε − = a (6) 在此基础上对引入调谐参数 2 Ωσ )1)( 31 1 ()1)( 4 3 1 ( 2 0 2 ασ α ασε+ − =++=Ωa (7) 将(6)，(7)代入到方程(4)中 Tp a u a uuucos )31 ( 8 )31 ( 4 2)1)( 31 1 ( 2 0 3 2 0 ⋅ − = − ++Ω++ −α α α α εηασ α && & (8) 在(8)中令 0 a u v ≡， 2 0 4 a Ω ≡ µ µ，则(8)变为(9) ))(cos( 8 ]34[2)1 ( 2 0 3 TWTp a vvvvvγ α αµαασ+=−++++&& & (9) 在(9)中α是一个小量，可以用多尺度法进行求解。

令 Λ++=),(),()( 101100 TTvTTvTvα 其中tTtTα== 10 , Λ++=Λ++= 10 2 0 2 2 10 2 DDD dt d DD dt d αα 则 )(2 ))((22 )()2(D ))(2()1 ()1 ( 00 1010 1 2 00100 2 0 1010 2 0 ααµ ααµαµα ααα ααασασ OvD vvDDv OvDvDDv vvDDDv += ++= +++= ++⋅+=+ & & & )(34 ))( 3)(4()34( 0 3 0 10 3 10 3 ααα αααα Ovk vvvvvv +−= +−++=− 3 00 2 0 vvD+的系数为： ))(cos( 8 342 2 0 0 3 00010 2 011 2 0 TWT a p vvvDDvDvvDγσ+−−++++ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +++−−−=+ =+ ))(cos( 8 342 0 3 0 0 3 00010 2 011 2 0 00 2 0 TWT a p vvvDDvDvvD vvD γσ (10) 求解(10)中的第一个方程，得到 ϕ=+=cos))(cos()( 1010 ATTTAvθ (11) )( 1 TToθ+=ϕ。

将(11)代入(10)中的第二个方程中，得到 ())(cos 8 cos2sin2 sin2cos4coscos3 3 0 '' 33 11 2 0 TrWT a p AA AAAAvvD ++ϕ+ϕ+ ϕ+ϕ−ϕ+ϕ=+ θ µσ (12) 消除长期项得到： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −−+−= 3 0 11' 3 0 113' )sin(8 22 )cos(8 332 a p AA a p AAAA φα µ φα σθ (13) 由(13)式可得： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −−−+−= 3 0 11 ' 3 0 11 3' 11 )sin(8 22 )( 2 )cos(8 33 a p AA dT TdW Ar a p AAAA φα µ φα σφ (14) (14)不易求解，现用摄动法加以求解首先令0=γ，则(14)变为 3 0 3 cos8 332 a p AAAA θα σθ−−+−=′ (15) 3 0 cos8 22 a p AA θα µ−−=′ (16) 对稳态解 ，当0, 0 '* 11 ' =′==Aθφ0=γ时，方程变为确定性方程, 在此基础上(15)(16)变为： 3 0 cos4 2a pθασ+ = − (17) 4 3 0 cos4 a pθα µ=− (18) 可得稳态解，和满足(17)(18)式。

而(15)(16)中的θφ= * 110 a1 * == AA 当0≠γ时，令 (19) 1,, *** 1111 =+=+=AyAAxφφ 将(19)式代入到(14)中去，考虑到和满足(17)(18)，忽略展开式中的非线性项，得到如下的 斯氏方程 * 11 φ * A ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ += −−= yxy dT dW ryxx µσ µ σ 2 2 2 ' ' (20) 则它对应的伊藤方程为 dW r dT yx yx dy。