第二章第23节教学提纲.ppt

2.2 2.3 离散型随机变量及其概率分布 若r.v. X 的可能取值是有限 或可列个，则称 X 为离散型随机变量 描述离散型r.v.的概率特性常用分布列或概率分布(概率函数）,即分布列的性质一、离散型随机变量的概念q 非负性q 规范性 离散型r.v的分布函数F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk离散型r.v的分布函数例3 一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须 被击中r 次才能被摧毁若每次击中目标的 概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立， 一次一次地轰击直到摧毁目标为止，求所需 轰击次数 X 的概率分布解P ( X = k ) = P ( 前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标)解 P ( X = k ) = P ( 首次出现废品之前已生产 k个合格品,第k+1个是废品)(1) 0 1 分布 X 1 0 P p 1 - p0 p 1 二、常见的离散型随机变量的分布 凡是随机试验只有两个可能的结果应用场合常用0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等(2) 离散型均匀分布 如在“掷骰子”的试验中，用 表示事件出现 点， 则随机变量 是均匀分布 (3) 二项分布背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴趣 的事件A 在 n 次试验中发生的次数 X 是一离散型随机变量若P ( A ) = p , 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布(也叫Bernolli分布)，记作0 1 分布是 n = 1 的二项分布且 这 n 次试验是相互独立的 试验可重复 n 次每次试验只有两个可能的结果： n重Bernoulli 概型 n重Bernoulli试验中事件 A 恰好出现 k 次 的概率为 分析:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验 。

例2 独立射击5000次，每次的命中率为0.001,求命中次数不少于2 次的概率.解令X 表示命中次数，则 X B( 5000,0.001 )问题 如何计算 ？ Poisson定理则对固定的 k设Poisson定理说明：若X B( n, p), 则当 n 较大，p 较小，而 适中，则可以用近似公式解 令X 表示命中次数，则 X B( 5000,0.001 )令利用Poisson定理再求上例P(X2)Poisson定理说明：若X B( n, p), 则当 n 较大，p 较小，而 适中，则可以用近似公式在Poisson 定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布(4) Poisson 分布若其中是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布，记作Poisson 分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布 例如，可以证明，总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的退 出前一页后一页目 录如果随机变量X 的分布律为试确定未知常数c .例2由分布律的性质有解：例 3 设随机变量 X 服从参数为的Poisson分布，且已知解： 随机变量 X 的分布律为由已知退 出前一页后一页目 录得由此得方程得解所以，第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例 4 某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的概率都是 0.01. 在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理. 问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过 0.01 ？ 解：设需配备 N 人，记同一时刻发生故障的设备台数为 X ，则 X B(100，0.01），取值，使得：需要确定最小的 N 的退 出前一页后一页目 录查表可知，满足上式的最小的 N 是 4 , 因此至少需配备 4 个工人。

第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例 4（续）退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例 5 保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为0.001，求 （1）保险公司亏本的概率； （2）保险公司获利不少于10万元的概率. 解：设此类被保人一年内死亡的人数为 X ，则 X B(2500，0.001）.退 出前一页后一页目 录第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量例 5（续）（1）P(保险公司亏本) （2）P(保险公司获利不少于10万元) 退 出前一页后一页目 录对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数 试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率例例对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数 试求随机变量 X 的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率解： 退 出前一页后一页目 录称X 服从超几何分布，记作思考题退 出前一页后一页目 录解：设 B= 此人在一年中得3次感冒 则由Bayes公式，得第二章 随机变量及其分布2离散型随机变量_=退 出前一页后一页目 录二项分布的取值情况设.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273由图表可见 , 当 时，取得最大值此时的 称为最可能成功次数xP012345678设.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见 , 当 时，取得最大值0.22 二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称 为最可能出现的次数如 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？ 则由题意解：因此，最可能射击的命中次数为。