高考数学直线与圆变式题.pdf

高考数学直线与圆变式题高考数学直线与圆变式题1.1.（北师大版必修（北师大版必修 2 2 第第 9393 页页 A A 组第组第 1 1 题）题）已知点A(1,3),B(1,3 3)，求直线AB的斜率.变式变式 1 1：已知点A(1,3),B(1,3 3)，则直线AB的倾斜角是（）A.25 B.C.D.36363 3 32 3，tan 3，0，113311的值等于 .ab1110 2b 2 kAC，ab 2(a b)，.a 20 2ab2解：解：kAB故选（C）.变式变式 2 2：（2006 年北京卷）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab 0)共线，则解：解：A、B、kABC三点共线，变式变式 3 3：已知点A(1,1),B(5,2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线l的斜率.解：解：设直线l的倾斜角为，则直线AB的倾斜角为2，依题意有tan22(1)3，5142tan31，3tan28tan3 0，tan或tan 3.由00 21800，231 tan400得0 90，tan 0，tan11，直线l的斜率为.332.2.（人教（人教 A A 版必修版必修 2 2 第第 111111 页页 A A 组第组第 9 9 题）题）求过点P(2,3)，同时在两轴上的截距相等的直线方程.变式变式 1 1：直线2x 3y 6 0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A.a 3,b 2 B.a 3,b 2 C.a 3,b 2 D.a 3,b 2解：解：令x 0得y 2，直线在y轴上的截距为b 2；令y 0得x 3，直线在x轴上的截距为a 3，故选（B）.变式变式 2 2：过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .解：解：依题意，直线的斜率为1 或直线通过原点，直线的方程为y 3 x 2或y 即x y 1 0或3x 2y 0.3x，2变式变式 3 3：直线l通过点P(2,3)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l的方程.解：解：依题意，直线l的斜率为1，直线l的方程为y 3 x 2或y 3 (x 2)，即x y 1 0或x y 5 0.3.3.（人教（人教 A A 版必修版必修 2 2 第第 124124 页页 A A 组第组第 3 3 题）题）求直线2x 5y 10 0与坐标轴围成的三角形的面积.变式变式 1 1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5 的直线方程是 .解：解：设所求直线方程为y 4 k(x 5)，依题意有2214(5)(5k 4)5，2 k25k 30k 16 0（无解）或25k 50k 16 0，解得k 直线的方程是2x 5y 10 0或8x 5y 20 0.28或k.55变式变式 2 2：（2006 年上海春季卷）已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则OAB 面积的最小值为 .解：解：设直线AB的方程为y 1 k(x 2)(k 0)，则SOAB1(21)(12k)144k 114(4k)(1)142(4k)(1)4，2k2k2k2k当且仅当4k 111即k 时取等号，当k 时，SOAB有最小值 4.k22变式变式 3 3：已知射线l:y 4x(x 0)和点M(6,4)，在射线l上求一点N，使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小.解：解：设N(x0,4x0)(x01)，则直线MN的方程为(4x0 4)(x 6)(x06)(y 4)0.令225x05x10 x10(x 1)111000，S(y 0得x)4x010(x01)2x012x01x01x01x01102(x01)11即x0 2时取等号，当N为（2，8）2 40，当且仅当x01x01x01时，三角形面积S最小.4.4.（北师大版必修（北师大版必修 2 2 第第 117117 页页 A A 组第组第 1010 题）题）求过点A(1,4)，且与直线2x 3y 5 0平行的直线的方程.变式变式 1 1：（2005 年全国卷）已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2x y 1 0平行，则m的值为（）A.0 B.-8 C.2 D.10解：解：依题意有4m 2，解得m 8，故选（B）.m 2变式变式 2 2：与直线2x 3y 5 0平行，且距离等于13的直线方程是 .解：解：设所求直线方程为2x 3y m 0，则m52 32213，解得m 18或m 8，直线方程为2x 3y 18 0或2x 3y 8 0.变式变式 3 3：已知三条直线2x 3y 5 0,4x 3y 1 0,mx y 0不能构成三角形，求实数m的取值集合.解：解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故m 242 4或m 或m 1，实数m的取值集合是,1.333 35.5.（北师大版必修（北师大版必修 2 2 第第 117117 页页 A A 组第组第 7 7 题）题）若直线ax 2y 6 0和直线x a(a 1)y (a 1)0垂直，求a的值.变式变式 1 1：（1987 年上海卷）若直线l1:ax 2y 6 0与直线l2:x (a 1)y (a 1)0平行但不重合，则a等于（）A.-1 或 2 B.-1 C.2 D.2223a21a1解：解：l1/l2，k1 k2且b1 b2，且3 ，解得a 1，故a 12a 1选（B）.变变式式 2 2：（2005 年北京春季卷）“m 1”是“直线(m 2)x 3my 1 0与直线2(m 2)x (m 2)y 3 0相互垂直”的（）A.充分必要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件解：解：由l1l2 A1A2 B1B2 0 (m 2)(m 2)3m(m 2)0 m 2或m 知由m 1，2111可推出l1 l2，但由l1 l2推不出m，故m 是l1 l2的充分不必要条222件，故选（B）.变式变式 3 3：设直线ax 2y 6 0与圆x y 2x 4y 0相交于点P、Q两点，O为坐标原点，且OP OQ，求m的值.解：解：圆x y 2x 4y 0通过原点O，且OP OQ，PQ是圆的直径，圆心（1，-2）在直线ax 2y 6 0上，m 2.6.6.（人教（人教 A A 版必修版必修 2 2 第第 110110 页页 A A 组第组第 3 3 题）题）已知A(7,4)，B(5,6)，求线段AB的垂直平分线的方程.变式变式 1 1：已知A(7,4)关于直线l的对称点为B(5,6)，则直线l的方程是（）A.5x 6y 11 0 B.6x 5y 1 0 C.6x 5y 11 0 D.5x 6y 1 0解：解：依题意得，直线l是线段AB的垂直平分线.kAB 的中点为（1，1），直线l的方程是y 1222222165，AB，kl kAB566(x 1)即6x 5y 1 0，故选（B）.522变式变式 2 2：已知圆(x 7)(y 4)16与圆(x 5)(y 6)16关于直线l对称，则直线l的方程是 .解：解：依题意得，两圆的圆心A(7,4)与B(5,6)关于直线l对称，故直线l是线段AB的垂直平分线，由变式 1 可得直线l的方程为6x 5y 1 0.变式变式 3 3：求点A(7,4)关于直线l:6x 5y 1 0的对称点B的坐标.y 4 6 1x 7 5解：解：设B(x,y).由AB l，且AB的中点在直线l上，得，解x 7y 4651 022得x 5，B(5,6).y 67.7.（北师大版必修（北师大版必修 2 2 第第 118118 页页 B B 组第组第 2 2 题）题）光线自点M(2,3)射到点N(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程.变式变式 1 1：一条光线从点P(2,3)射出，经x轴反射，与圆(x 3)(y 2)1相切，则反22射光线所在直线的方程是 .解：解：依题意得，点P关于x轴的对称点P(2,3)在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为y 3 k(x 2)，即kx y 2k 3 0.由反射光线与圆相切得5k 54341，解得k 或k ，反射光线所在直线的方程是y 3 (x 2)343k21或y 3 3(x 2)，即4x 3y 1 0或3x 4y 6 0.4变式变式 2 2：（2003 年全国卷）已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为(x4,0).若0 x4 2，则tan的取值范畴是（）A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,)解：解：用特例法，取x41，则P1、P2、P3、P4分别为BC、CD、DA、AB的中点，现在tan131 23 32 15 22 25 311.依题意，包含tan的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.22变式变式 3 3：已知点A(3,5),B(2,15)，在直线l:3x 4y 4 0上求一点 P，使PA PB最小.解：解：由题意知，点 A、B 在直线l的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点A关于直线l的对称点A，然后连结AB，则直线AB与l的交点 P 为所求.事实上，设点P是l上异于 P的点，则PA PB PA PB AB PA PB.y 5 3 1x 3x 3 4设A(x,y)，则，解得，A(3,3)，直线ABx 3y 5y 33 4 4 0228x 3x 4y 4 08P(,3).的方程为18x y 51 0.由，解得，3318x y 51 0y 38.8.（人教（人教 A A 版必修版必修 2 2 第第 144144 页页 A A 组组 3 3）求以N(1,3)为圆心，同时与直线3x 4y 7 0相切的圆的方程.变式变式 1 1：（2006 年重庆卷）过坐标原点且与圆x y 4x 2y 为（）225 0相切的直线的方程211x B.y 3x或y x3311C.y 3x或y x D.y 3x或y x33A.y 3x或y 解：解：设直线方程为y kx，即kx y 0.圆方程可化为(x 2)(y 1)225，圆2心为（2，-1），半径为2k 110101.依题意有，解得k 3或k，直线方232k21程为y 3x或y 1x，故选（A）.322变式变式 2 2：（2006 年湖北卷）已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切，则a的值为 .解：解：圆(x 1)2 y21的圆心为（1，0），半径为 1，5 a5 1222解得a 8或a 18.1，变式变式 3 3：求通过点A(0,5)，且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程.a2(5b)2 r2解：解：设所求圆的方程为(x a)2(y b)2 r2，则 a 2b，2a b r55a 1a 52222解得b 3或，圆的方程为或(x 1)(y 3)5(x 5)(y 15)125.b 15r 5r 5 59.9.（人教（人教 A A 版必修版必修 2 2 第第 144144 页页 A A 组组 第第 5 5 题）题）求直线l:3x y 6 0被圆C:x y 2x 4y 0截得的弦AB的长.22变式变式 1 1：（1999 年全国卷）直线3x y 2 3 0截圆x y 4得的劣弧所对的圆心角22为（）A.B.C.D.64323，故弦长AB 2 r2 d2 2，从而OAB 是等边三角形，解：解：依题意得，弦心距d 故截得的劣弧所对的圆心角为AOB 3，故选（C）.22变式变式 2 2：（2006 年天津卷）设直线ax y 3 0与圆(x 1)(y 2)4相交于A、B两点，且弦AB的长为2 3，则a .解：解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(22a 1a21)2(3)2 22，解得a 0.变式变式 3 3：已知圆C:(x 1)(y 2)6，直线l:mx y 1 m 0.（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆。