二阶系统时间响应课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,四,、二阶系统的时间响应,1、二阶系统,其中，,T,为时间常数，也称为无阻尼自由振荡,,周期，,,,,为,阻尼比,；,,,,n,＝1,/,T为系统的,无阻尼固有频率,二阶系统的特征方程：,极点（特征根）：,,临界阻尼二阶系统：,,＝,1,具有两个相等的,负实数极点,：,系统包含两类瞬态衰减分量：,过阻尼二阶系统：,,,> 1,具有两个不相等的,负实数极点,：,系统包含两类瞬态衰减分量：,,欠阻尼二阶系统（振荡环节）：,0<,,<1,具有,一对共轭复数极点,：,系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：,其中，,,称为,阻尼振荡频率,零阻尼二阶系统：,,＝,0,具有,一对共轭虚极点,：,系统时域响应含有复指数振荡项：,负阻尼二阶系统：,,,< 0,极点实部大于零,，响应发散，系统不稳定2、二阶系统的,单位脉冲响应,,0<,,<1,：,,,,,= 1,：,,,,= 0,：,,,,,> 1,：,3、二阶系统的,单位阶跃响应,,,欠阻尼（,0<,,<1,）状态,,其中，,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线,5,10,15,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2,t,p,x,o,(,t,),,=0.2,,=0.4,,=0.6,,=0.8,t,,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点,,x,o,(,,) = 1,，,无稳态误差；,,瞬态分量为振幅等于 的阻尼,,,正弦振荡，其振幅衰减的快慢由,,和,,n,决定。

阻尼振荡频率 ；,,振荡幅值随,,减小而加大1,0,t,x,o,(,t,),特点,,单调上升，无,,振荡、无超调；,,x,o,(,,) = 1,，,无,,稳态误差临界阻尼（,,=1,）状态,,,,过阻尼（,,>1,）状态,,0,1,t,x,o,(,t,),特点,,单调上升，无振荡，,,过渡过程时间长,,x,o,(,,) = 1,，,无稳态,,误差无阻尼（,,=0,）状态,,2,1,0,t,x,o,(,t,),特点,,频率为,,n,的等,,幅振荡负阻尼（,,<0,）状态,,0,t,x,o,(,t,),-1<,,<0,t,0,x,o,(,t,),,<-1,,-1<,,<0,：,输出表达式与欠阻尼状态相同,,< -1,：,输出表达式与过阻尼状态相同特点：振荡发散,,特点：单调发散,,,,几点结论,,,二阶系统的阻尼比,,,决定了其振荡特性：,,,< 0,时，阶跃响应发散，系统不稳定；,,,,1,时，无振荡、无超调，过渡过程长；,0<,,<1,时，有振荡，,,,愈小，振荡愈严重，,,但响应愈快；,,= 0时,，出现等幅振荡工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在,0.4~0.8,之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过,,大的振荡。

,一定时，,,n,越大，瞬态响应分量衰减越,,,,迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应,,,,的快速性越好例题,,例,1,单位脉冲信号输入时，系统的响应为：,求系统的传递函数解,：由题意,X,i,(,s,)=1,，所以：,,例,2,解,：1）单位阶跃输入时,已知系统传递函数：,求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应从而：,,2）单位脉冲输入时，由于,因此：,,6、,二阶系统的性能指标,,控制系统的时域性能指标,,控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义常见的性能指标有：,上升时间,t,r,、,峰值时间,t,p,、,调整时间,t,s,、,最大超调量,M,p,、,振荡次数,N,1,,0,t,M,p,允许误差,,=0.05或0.02,t,r,t,p,t,s,0.1,0.9,x,o,(,t,),控制系统的时域性能指标,,评价系统快速性的,性能指标,,上升时间,t,r,响应曲线从零时刻出发,首次到达稳态值,所需时间对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线,从稳态值的,10%,上升到,90%,所需,,的时间,峰值时间,t,p,响应曲线从零上升到,第一个峰值,所需时间。

调整时间,t,s,响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的,,2%或,,5%,）内所需的时间最大超调量,M,p,响应曲线的最大峰值与稳态值之差通常用百分数表示：,评价系统平稳性的,性能指标,,若,x,o,(,t,p,),,,x,o,(,,)，则响应无超调振荡次数,N,在调整时间,t,s,内系统响应曲线的振荡次数实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数欠阻尼二阶,系统的时域性能指标,,上升时间,t,r,根据上升时间的定义有：,欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：,从而：,即：,显然，,,一定时，,,n,越大，,t,r,越小；,,n,一定时，,,,越大，,t,r,越大峰值时间,t,p,，并将,t,=,t,p,代入可得：,,令,即：,,根据,t,p,的定义解上方程可得：,,可见，峰值时间等于阻尼振荡周期,T,d,＝2,,/,,d,的一半且,,一定，,,n,越大，,t,p,越小；,,n,一定，,,,越大，,t,p,越大最大超调量,,M,p,显然，,M,p,仅与阻尼比,,有关最大超调量直接说明了系统的阻尼特性,,越大，,M,p,越小，系统的平稳性越好，当,,,= 0.4~0.8,时，可以求得相应的,M,p,,= 25.4%~1.5%,。

0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,M,p,,二阶系统,M,p,—,,,图,,,调整时间,t,s,对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量,1,的指数曲线：,,t,0,,1,,x,o,(,t,),T,2,T,3,T,4,T,,当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内因此利用：,可以求得：,由上式求得的,t,s,包通常偏保守当,,一定时，,,n,越大，,t,s,越小，系统响应越快当,0<,,<0.7,时，,,,,振荡次数,N,N,仅与,,,有关与,M,p,一样直接说明了系统的阻尼特性,越大，,N,越小，系统平稳性越好对欠阻尼二阶系统，振荡周期,则,,,二阶系统的动态性能由,,n,和,,决定结论,,通常根据允许的最大超调量来确定,,,一般,,选择在,0.4~0.8,之间，然后再调整,,n,以获得合,,适的瞬态响应时间,一定，,,n,越大，系统响应快速性越好，,t,r,、,,,t,p,、,t,s,越小,。

增加,,可以降低振荡，减小超调量,M,p,和振荡,,次数,N,，,但系统快速性降低，,t,r,、,t,p,增加；,,5,10,15,0,,,,,,,,,,,,,,=0.2,,=0.4,,=0.6,,=0.8,,,例题,1,图,a),所示机械系统，当在质量块,M,上施加,f,(,t,)=8.9,N,的阶跃力后，,M,的位移时间响应如图,b),试求系统的质量,M,、弹性系数,K,和粘,,性阻尼系数,C,的值m,f,(,t,),K,C,x,o,(,t,),a),,0,,0.03,,0.0029,,2,,t,/,s,1,,3,,x,o,(,t,)/,m,t,p,b),,,解,：根据牛顿第二定律：,,其中，,系统的传递函数为：,,由于,F,(,s,)=L[,f,(,t,)]=L[8.9]=8.9/s，因此,根据拉氏变换的终值定理：,由图b)知,x,o,(,,) = 0.03,m,，因此：,K,=8.9/0.03=297,N,/,m,,又,由图,b),知,：,解得：,,,= 0.6,又由：,代入,,，可得,,n,=1.96,rad,/,s,根据,解得,M,= 77.3,Kg,，,C,= 181.8,Nm,/,s,,,例题,2,已知单位反馈系统的开环传递函数为：,求,K,=200,时，系统单位阶跃响应的动态性能指标。

若,K,增大到,1500,或减小到,13.5,，试分析动态性能指标的变化情况解,：系统闭环传递函数为：,,,1）,K,= 200,时,,,n,=31.6,rad,/,s,，,,=0.545,,2）,K,= 1500,时,,,n,=86.2,rad,/,s,，,,=0.2,，同样可计算得：,,t,r,=0.021,s,，,t,p,=0.037,s,，,M,p,=52.7%,,t,s,=0.174,s,，,N=,2.34,可见，增大,K,，,,减小，,,n,提高，引起,t,p,减小，,M,p,增大，而,t,s,无变化,,即系统可以视为由两个时间常数不同的一阶系统串联组成，其中,T,1,=0.481,s,,,T,2,=0.0308,s,3）,K,= 13.5,时,,,n,=8.22,rad,/,s,，,,=2.1 ，,系统工作于过阻尼状态，传递函数可以改写为：,,,对于过阻尼系统，,t,p,，,M,p,，,N,已无意义，而调整时间,t,s,间可以通过其中时间常数大的一阶系统进行估算，即：,t,s,=3,T,1,=1.443,s,(,,=0.05),显然，,t,s,比前两种情形要大得多，虽然系统无超调，但过渡过程缓慢。

五,、高阶系统的时间响应,1、高阶系统的单位阶跃响应,考虑系统,,假设系统极点互不相同其中，,a,,,a,j,为,X,o,(,s,),在极点,s,= 0,和,s,= -,p,j,处的留数；,,,b,k,、,c,k,是与,X,o,(,s,),在极点,,处的留数有关的常数当,X,i,(,s,)=1/,s,时，,,其中，,,=,arctg,(,b,k,/,c,k,),2、高阶系统的单位阶跃响应的特点,,高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系,,统的响应函数叠加而成如果所有闭环极点都在,,s,平面的左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部,(,p,j,,、,,,k,,k,大于零,),，则随着时间,t,,，,x,o,(,,)=,a,即系统是稳定的极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态,,分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；,3、系统零极点分布对时域响应的影响,0,,,j,,-,,n,-8,,n,-5,,n,-10,,n,p,1,p,2,p,3,p,4,p,5,z,1,0,,t,x,o,,(,t,),p,1 、,p,2,p,3,p,4 、,p,5,通常如果闭环零点和极点的距离比其模值,,小一个数量级，则该极点和零点构成一对,,偶极子，可以对消。

系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小，所以一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略这对零极点称为,偶极子,综上所述，对于高阶系统，如果能够找到 主导极点（通常选为一对共轭复数极点，即二阶系统），就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为二阶系统 进行处理主导极点,（,,距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的,1/5,或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用4、,例题,已知系统的闭环传递函数为：,求系统近似单位阶跃响应解,：系统闭环传递函数的零极点形式为：,-10,-20,-20.03,-60,71.4,-71.4,0,,j,,,,由系统零极点分布图可见，零点,z,1,＝-20.03和极点,p,1,＝-20 构成一对偶极子，可以消去，共轭复数极点,p,3,4,＝-10,±,j,71.4,与极点,p,2,＝-60相距很远，,p,3,4,为系统的主导极点，,p,2,对响应的影响可以忽略，从而系统简化为：,系统的近似单位阶跃响应为：,,n,=72.11,rad,/,s,，,,=0.139,,t,x,o,(,t,),0,,原系统,,等效二阶系统,,单位阶跃响应,,t,x,o,,(,t,),0,,-10,±,j,71.4,-60,-20,瞬态输出分量,,,六,、误差分析和计算,1、控制系统的偏差与误差,考虑图示反馈控制系统,H(s),,X,i,(,s,),X,o,(,s,),B,(,s,),,,(,s,),G(s),偏差信号,,(,s,),,(,s,)=,X,i,(,s,)－,B,(,s,)＝,X,i,(,s,)－,H,(,s,),X,o,(,s,),偏差信号,,(,s,)定义为系统输入,X,i,(,s,),与系统,主反馈,信号,B,(,s,),之差，即：,,误差信号,E,(,s,),误差信号,e,(,s,)定义为系统期望输出,X,or,(,s,),与系统实际输出,X,o,(,s,),之差，即：,E,(,s,)=,X,or,(,s,)－,X,o,(,s,),控制系统的期望输出,X,or,(,s,),为偏差信号,,(,s,)＝0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出：,X,o,(,s,),＝,X,or,(,s,),由：,,(,s,)=,X,i,(,s,)－,H,(,s,),X,or,(,s,)＝0,可得：,X,or,(,s,)＝,X,i,(,s,),/,H,(,s,),对于单位反馈系统，,H,(,s,)＝1，,X,or,(,s,)＝,X,i,(,s,),偏差信号,,(,s,),与误差信号,E,(,s,),的关系,对单位反馈系统：,E,(,s,)＝,,,(,s,),,2、稳态误差及其计算,稳态误差,e,ss,稳态误差,：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（,t,,）下的差值，即误差信号,e,(,t,) 的稳态分量：,当,sE,(,s,)的极点均位于,s,平面左半平面（包括坐标原点）时,，,根据拉氏变换的终值定理，有：,,稳态误差的计算,系统在输入作用下的偏差传递函数为：,,即：,利用拉氏变换的终值定理，系统稳态偏差为：,稳态误差：,H(s),,X,i,(,s,),X,o,(,s,),B,(,s,),,,(,s,),G(s),,对于单位反馈系统：,显然，系统稳态偏差,(,误差,),决定于输入,X,i,(,s,),和开环传递函数,G,(,s,),H,(,s,),，即决定于输入信号的特性及系统的结构和参数。

例题,已知单位反馈系统的开环传递函数为：,,,G,(,s,)=1/,Ts,,求其在单位阶跃输入、单位单位速度输入、单位加速度输入以及正弦信号sin,,t,输入下的稳态误差解,：该单位反馈系统在输入作用下的误差传递函数为：,在单位阶跃输入下的稳态误差为：,在单位速度输入下的稳态误差为：,在单位加速度输入下的稳态误差为：,,sin,,t,输入时：,由于上式在虚轴上有一对共轭极点，不能利用拉氏变换的终值定理求稳态误差对上式拉氏变换后得：,稳态输出为：,,而如果采用拉氏变换的终值定理求解，将得到错误得结论：,此例表明，输入信号不同，系统的稳态误差也不相同3、稳态误差系数,稳态误差系数的概念,,稳态位置误差（偏差）系数,单位阶跃输入时系统的稳态偏差,称为,稳态位置误差（偏差）系数,其中，,,,稳态速度误差（偏差）系数,单位速度输入时系统的稳态偏差,称为,稳态速度误差（偏差）系数,其中，,对于单位反馈系统，,易知：,对于单位反馈系统，,易知：,,,稳态加速度误差（偏差）系数,单位加速度输入时系统的稳态偏差,称为,稳态加速度误差（偏差）系数,其中，,结论,当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。

对于单位反馈系统，,易知：,,系统类型,将系统的开环传递函数写成如下形式：,,则：,,即系统的稳态偏差（误差）取决于系统的开环增益、输入信号以及开环传递函数中积分环节的个数,v,根据系统开环传递函数中积分环节的多少，当,,v,= 0, 1, 2, …,时，系统分别称为,0型,、,I型,、,Ⅱ,型,、……系统不同类型系统的稳态误差,系数及稳态误差,,0,型,系统,,,I,型,系统,,Ⅱ,型,系统,,表1、系统的稳态误差系数及稳态偏差,,0,0,K,,,II型,,,0,0,K,,I型,,,,0,0,K,0型,单位加速度输入,单位速度输入,单位阶跃输入,K,a,K,v,K,p,稳态偏差,稳态误差系数,系统类型,,,几点结论,,不同类型的输入信号作用于同一控制系统，,,其稳态误差不同；相同的输入信号作用于,,不同类型的控制系统，其稳态误差也不同系统的稳态误差与其开环增益有关，开环,,增益越大，稳态误差越小在阶跃输入作用下，,0,型系统的稳态误差,,为定值，常称为,有差系统,；,I,型系统的稳,,态误差为,0,，常称为,一阶无差系统,；,,在速度输入作用下，,II,,型系统的稳态误差,,为,,0,，常称为,二阶无差系统,。

x,i,(,t,),x,o,(,t,),t,0,x,i,(,t,),x,o,(,t,),0型系统的单位阶跃响应,,x,i,(,t,),x,o,(,t,),t,0,x,i,(,t,),x,o,(,t,),I型系统的单位速度响应,,x,i,(,t,),x,o,(,t,),t,0,x,i,(,t,),x,o,(,t,),II型系统的单位加速度响应,,,,系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和如：,总的稳态偏差：,,如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加稳态误差系数只对相应的阶跃、速度及加,,速度输入有意义有扰动存在时的稳态偏差,1.仅由扰动产生的偏差,2.仅由扰动产生的稳态偏差,3.输入和扰动共同作用下的稳态误差（单位反馈）,六 系统误差分析和计算,,系统总误差,,当系统同时受到输入信号,X,i,(,s,)和扰动信号,N,(,s,)作用时，由叠加原理，系统总的稳态偏差：,稳态误差：,,六 系统误差分析和计算,减小系统误差的途径，方法1 按干扰补偿,2 按输入补偿,Xi(s) E(s) Xo(s),+ -,G1(s) G2(s),Gc(s),,,,+,,例题,系统结构图如下，其中,K,1,、,K,2,、,K,3,、,K,4,、,T,为常数，试求当输入,x,i,(,t,)=1+,t,以及扰动作用下，使系统稳态误差为零的,K,4,值和,G,0,(,s,)。

,K,1,,G,0,(,s,),X,i,(,s,),X,o,(,s,),+,,_,,,+,,_,,K,4,N,(,s,),,解,：,n,(,t,)=0时,,,K,1,,X,i,(,s,),X,o,(,s,),_,,,+,,K,4,系统闭环传递函数：,,注,：已知输入作用下闭环传递函数时，稳态误差也可由其等效单位反馈系统的开环传递函数通过稳态误差系数求解要使系统对输入,x,i,(,t,)=1+,t,无稳态误差，,G,i,(,s,)需为II型系统，即1－,K,3,,K,4,,=0 ⇒,K,4,=1/,K,3,,只有扰动作用时(,x,i,(,t,)=0),,,,+,,,G,0,(,s,),N,(,s,),X,on,(,s,),_,,_,,减小稳态误差的方法,提高系统开环增益；,增加系统开环传递函数中积分环节的个数；,通过顺馈控制或复合控制进行补偿；,,第三章,例题讲解,例3.1 已知系统的单位阶跃响应为：,求：1）系统的闭环传递函数；,,,2）系统阻尼比,,和无阻尼固有频率,,n,解,：1）,,,2）对比二阶系统的标准形式：,,有：,,,例3.2 已知系统方框图如下：,图中虚线方框称为“比例＋微分”控制。

求系统的上升时间,t,r,、峰值时间,t,p,、调节时间,t,s,及最大超调量,M,p,并分析“比例＋微分”控制对二阶系统性能的影响,d,s,X,i,(,s,),X,o,(,s,),0<,,<1,,解,：系统开环传递函数为：,闭环传递函数为：,其中：,注意到上式为有零点的二阶系统，不可应用典型二阶系统的时域性能指标求解公式当,,d,<1时，系统单位阶跃响应为：,,其中，,1) 上升时间,根据上升时间的定义有：,,从而：,即：,2) 峰值时间,令,x,',o,1,(,t,) = 0，有：,,因此：,,,其中：,3) 最大超调量,,利用：,解得：,4) 调节时间,,下面分析 “比例＋微分” 控制对系统性能的影响由于：,可见，“比例＋微分”控制不改变系统的固有频率，但可增加系统的阻尼比，减少超调其中：,进一步，注意到：,,上式中第一项为典型的二阶系统，第二项由 “比例＋微分”控制作用引入的零点所产生，且第二项为典型二阶系统的传递函数乘以,s,以及微分时间常数,,d,，而,s,表示了微分算子，因此，从时域上看，第二项的时间响应等于原系统的时间响应的导数乘以,,d,当,,d,<1时，典型二阶系统的单位阶跃响应为：,其导数为：,,t,(,s,),0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,x,o,(,t,),“比例＋微分”系统,原系统,x,o,1,(,t,),,d,x,',o,1,(,t,),“比例＋微分”控制可提高系统的响应速度。

即“比例＋微分控制”不影响系统的稳态误差尽管如此，由于增加了系统的阻尼，因此在保证一定的动态性能条件下，允许系统选用较大的开环增益以改善稳态精度但是，微分的引入会导致系统抗噪性能下降此外，引入“比例＋微分控制”后，系统仍为I型系统，稳态速度误差系数不变：,,例3.3 某系统传递函数为：,为了将调节时间减小为原来的1/10，同时系统维持原有的增益，采用增加负反馈的办法，改造后的系统方框图如下试确定参数,K,1,和,K,h,的取值G,(,s,),X,i,(,s,),X,o,(,s,),K,1,K,h,,解,：期望的系统闭环传递函数为：,引入负反馈后，系统闭环传递函数为：,对比上述两式，求得：,,K,h,＝0.45 ；,K,1,＝10,,。