浙江省绍兴市2024-2025学年高一下学期期末数学 Word版含解析.docx

2024学年高一第二学期高中期末调测数学试卷注意事项：1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须答在答卷相应位置上.2．全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D解析：因为，集合，所以，所以，故选：D2. 从这五个字母中随机选择一个，则选中元音字母或的概率为（）A. B. C. D. 【答案】C解析：从五个字母中随机选择一个，则样本空间，，记“选中元音字母a或e”，则，，故，故选：C3. 对数与互为相反数，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】C解析：因为对数与互为相反数，可得，即，所以.故选：C.4. 已知，则（）A. B. C. D. 2【答案】B解析：，，两式相加得，即，，，故选：B．5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C解析：对于，如图，上底面和下底面平行，，但此时是异面，故A错误；对于，如图，右侧面为，下底面，，此时与相交，故B错误；对于，因为，所以，又，，是两条不同的直线，故，由线面平行的判定定理可得，故C正确；对于，如图，右侧面为，下底面，，此时与相交，故D错误；故选：C6. 函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】A解析：的定义域为，，为奇函数，关于原点对称，排除C，D；又，在上单调递增，在单调递增，在单调递增，排除，故选：A7. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=“第一次掷出的点数是偶数”，B=“第二次掷出的点数是奇数”，C=“两次掷出的点数之和是偶数”，则（）A. A与B互为对立 B. A与C相互独立 C. 与C互斥 D. 与C相互独立【答案】B解析：对于A，事件A与事件B可以同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，故A错误；对于B，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则样本空间，共36种，其中，共18种，故，，共18种，故，，共9种，故，因为，故A与C相互独立，故B正确；对于C，=“第二次掷出的点数是偶数”，故=“两次掷出的点数都是偶数”，因为C=“两次掷出的点数之和是偶数”，所以，故与C不是互斥事件，故C错误；对于D，由C可知，故，由B可知，故，故D错误；故选：B8. 在正三棱柱中，D，E，F分别是棱，，上的点，，，若平面DEF将该三棱柱截成体积相等的两部分，则（）A. B. C. D. 【答案】A解析：连接，，不妨设正三棱柱上下底面的边长为2，侧棱长为，则到平面的距离和D到平面的距离相同，都为，，，则，设，则，梯形的面积，，，，平面截正三棱柱所得上半部分体积为，又，平面将该正三棱柱截成体积相等的两部分，，即，解得，即，，故选：A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，，则（）A. B. 的共轭复数是C. 的虚部是3 D. 是纯虚数【答案】ACD解析：对于A，，，故A正确；对于B，，故的共轭复数是，故B错误；对于C，，的虚部是3，故C正确；对于D，，故是纯虚数，故D正确，故选：ACD10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）A. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数C. 在上单调递减 D. 在内有4个零点【答案】AB解析：对于A，是偶函数，，关于直线对称，故A正确；对于B，由A可知关于直线对称，①，又是奇函数，，即，关于点对称，②，由①②可得，即，，，的一个周期为8，故B正确；对于C，由B知关于点对称，时，单调递增，在也单调递增，故C错误；对于D，定义域为R，关于对称，，又关于直线对称，，在内有2个零点，故D错误，故选：AB.11. 在四面体中，，二面角的大小为，该四面体的所有顶点都在半径为的球的球面上，半径为的球与该四面体的四个面均相切，则（ ）A. 当时， B. 存在，使与重合C. 随的增大而增大 D. 对任意的【答案】BCD解析：设中点为，过的外心作平面的垂线，交点即为球心，，为等边三角形，则，，外接圆半径都是，又中点为，所以，又平面，所以平面，又平面平面，所以就是二面角的平面角，即，在四边形中，，所以是其外接圆直径，即是的外接圆直径，，则外接球半径，，，四面体的表面积，四面体的体积，所以，对于A，时，，，故A错误；对于B，易知当四面体为正四面体是外接球球心与内切球球心重合，故B正确；对于C，由，因为在单调递减，且大于0，所以在单调递增，即随的增大而增大，故C正确；对于D， ，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某市6月份第三周空气质量指数如下：35，54，58，72，80，85，86，则这组样本数据的第75百分位数是_______．【答案】85解析：因为，所以这组样本数据的第75百分位数是85.故答案：85.13. 在正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______.【答案】##0.8解析：由正方体的性质可得：平面，平面，所以平面平面，即直线在平面的射影就是，所以直线与平面所成角的平面角就是，设正方体的棱长为，因为E是的中点，所以由勾股定理可得，由余弦定理可得：，因为为锐角，所以，故答案为：.14. 已知向量满足，，则的最大值为_______．【答案】##6.5解析：，，当时，的最大值为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知，，设函数．（1）求的值；（2）求的单调递增区间．【答案】（1）1 （2）（1），则．（2）令，所以的单调递增区间为．16. 近年来，绍兴市持续推进实施先进制造业强市“4151”计划，出台加快制造业转型行动方案.某企业在政策扶持下改革创新，成效显著.现随机抽取该企业改进生产工艺前、后各100件产品，并测量某项质量指标值（小于95的产品为不合格品，大于或等于105的产品为优等品），得到如下频数分布表：改进生产工艺前质量指标值t频数918263215改进生产工艺后质量指标值t频数515203525（1）分别估计该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率；（2）若改进生产工艺后，每件产品的利润（单位：元）与其质量指标值t的关系为估计该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润.【答案】（1） （2）（1）设企业在改进生产工艺前的优等品率为，改进生产工艺后的优等品率为，则，，故该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率分别为；（2）由题可知，指标值的频率为，的频率为，的频率为，设该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润为，则，所以该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润为.17. 已知平面四边形的对角线分别为，且．（1）若，，求的面积；（2）若，，平分线AE交BD于点E，求AE．【答案】（1） （2）（1）因，，所以为钝角，为锐角，则，，在中，由正弦定理得，，，所以．（2）因为，，平分，所以，，则，过点作，垂足分别为，如图所示，则，设，则，所以，在中，．18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）．（1）证明：；（2）若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求；（3）设点Q是边上的点（含端点），求的最小值．【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）（1）连接，中，由余弦定理得，，所以，所以，又因为四边形为平行四边形，所以，即，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以．（2）在平面中，过点作，垂足为，连接，由（1）知，平面，平面，所以，又平面，所以，又平面，平面，平面平面，所以为二面角的平面角，因为平面，平面，所以，则在中，，因为底面，平面，所以，在中，，又N为棱的中点，所以，所以，则，所以，在中，，所以，设，在中，由余弦定理得，，所以．（3）将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得，则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值，所以，当在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示，则，故的最小值为．19. 已知一组数据：，，，，的平均数为，标准差为，且满足，．（1）若，求函数的最小值；（2）若，求证：；（3）若，，，的方差为，求证：．【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析（1），则，，故当时有最小值；（2）由，则，由，则，，则，即，则，故，又，故，故有，即，即；（3）设，，，的平均数为， ，则，、要证，只需证，令，即只需证，即只需证，即只需证，由，则，，不妨设，满足的最大正整数为，若，则有，又，矛盾，故，则，即，即得证.。