圆锥曲线知识点+例题+练习含答案解析(整理).docx

圆锥曲线一、椭圆：〔 1〕椭圆的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数〔大于| F1 F2 | 〕的点的轨迹其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距注意： 2a | F1F2 | 表示椭圆；2a| F1F2 | 表示线段F1F2；2a| F1F 2 |没有轨迹；〔2〕椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上......标准方程图 形x2y21( a b 0)y2x21(a b 0)a2b 2a 2b2yB 2yPF2B 2A 1A 2xPA 1xOOA 2F1F1F2B 1B1......顶 点对称轴焦 点焦 距离心率通 径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a)x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2a 2b 2ec (0e 1) 〔离心率越大，椭圆越扁〕a〔过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段〕......3．常用结论：〔1〕椭圆x2y 21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a 2b 2点，那么ABF 2的周长=〔2〕设椭圆x2y21(a b 0) 左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线a2b 2......交椭圆于 P, Q 两点，那么 P, Q 的坐标分别是| PQ |......二、双曲线：〔 1〕双曲线的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数〔小于| F1 F2 |〕的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距注意： | PF1 || PF2 | 2a与| PF2 || PF1 | 2a 〔 2a| F1F2 | 〕表示双曲线的一支2a | F1 F2|表示两条射线； 2a| F1F2 |没有轨迹；〔2〕双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，焦点在 y 轴上标准x 2y2y 2x21( a0,b 0)1(a 0, b 0)a 2b 2a 2b 2方程P y F2yB 2图形PxxOF1A 1OA2 F2B1F1......顶 点对称轴焦 点焦 距离心率渐近线通 径〔3〕双曲线的渐近线：A1 ( a,0), A2 ( a,0)B1(0,a), B2 (0, a)x 轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2aF1 ( c,0), F2 ( c,0)F1 (0,c), F2 (0, c)| F1F2 | 2c(c 0)c 2a 2b2e c (e 1)〔离心率越大，开口越大〕ayb xya xab2b2a......①求双曲线 x2y21的渐近线，可令其右边的 1为 0，即得x2y20，因式分解得到 xy0。

a2b2a2b2ab......②与双曲线 x2y21共渐近线的双曲线系方程是 x2y2；a2b 2a 2b 2〔4〕等轴双曲线为x2y2t 2，其离心率为2〔4〕常用结论：〔 1〕双曲线x2y2的两个焦点为 F , F，过 F1(a 0, b0)的直线交双曲线a2b 2121的同一支于 A, B 两点，那么ABF 2的周长=〔2〕设双曲线x2y 21(a0, b 0)左、右两个焦点为F , F，过 F 且垂直于对称轴的a 2b 2121直线交双曲线于 P, Q 两点，那么 P, Q 的坐标分别是|PQ |三、抛物线：〔1〕抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线〔2〕抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0......焦点在x 轴上，焦点在x 轴上，焦点在y 轴上，焦点在y 轴上，......开口向右开口向左开口向上开口向下......标准y 22 pxy 22 pxx22 pyx22 py方程lyPPyylyxlxO图形PF xxOFFOPFOl顶点O(0,0)对称轴x 轴y 轴焦点F ( p ,0)F (p ,0)F ( 0, p)F(0,p )2222离心率e1准线xpxpypyp2222......通 径焦半径焦点弦2 pp| PF | | y0p| PF | | x0 ||22......焦准距p四、弦长公式： | AB |1k 2 | x1x2| 1k 2( x1x2 ) 24x1 x21 k 2| A |其中 , A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程的判别式和 x2的系数求弦长步骤：〔 1〕求出或设出直线与圆锥曲线方程；〔 2〕联立两方程，消去 y,得关于x 的一元二次方程Ax2BxC 0, 设 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，由韦达定理求出1x2B ，xAC；〔 3〕代入弦长公式计算。

x1 x2A法〔二〕假设是联立两方程，消去x,得关于 y 的一元二次方程Ay2ByC0,那么相应的弦长公式是： | AB | 1(1) 2 | y1y2 |1(1)2( y1y2 )24 y1 y21 (1)2kkk| A |注意〔 1〕上面用到了关系式 | x1x2 |(x1x2 )24x1x2和| A |y1 y2( y1y2 ) 24 y1 y2| A |注意〔 2〕求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高〔点到直线的距离〕，但假设三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法〔一〕：〔 1〕求出或设出直线与圆锥曲线方程；〔 2〕联立两方程，消去 y,得关于 x的一元二次方程 Ax 2 Bx C 0, 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) ，由韦达定理求出 x1 x2B ；〔3〕A......设中点 M ( x0, y0)，由中点坐标公式得 x0x1 x2；再把xx0代入直线方程求出 y y0。