正方形和梯形讲义.doc

学生： 科目：数学 第 1 阶段第 次课 教师： 董英明课 题 正方形与梯形教学目标1. 掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形；2. 灵活运用正方形的该你那、特征、判定方法解决问题；3. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念；4. 掌握等腰梯形的性质与判定；重点、难点掌握及灵活运用正方形与梯形的性质与判定考点及考试要求1、 正方形的性质和判定2、 梯形的性质和判定教学内容知识框架1． 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．　　　　　　2、正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．可以将正方形的性质总结如下：　 边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；　 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式：类别定义性质判定面积公式梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形中位线平行于两底且等于两底和的一半根据定义判定两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积等腰梯形两腰相等的梯形1. 两腰相等；2. 同一底上的两角相等3. 两条对角线相等4. 等腰梯形是轴对称图形1. 根据定义判定；2. 同底两角相等的梯形。

直角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性质根据定义判定2、解决梯形问题常用的方法：　　（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；　　（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；　　（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；　　（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；　　（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．　　　　　 　　 图1 　 　图2 　　　 　图3 　　 　　图4 　　　图5　　综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决考点一：正方形1、 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形2、 正方形的性质：所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等性质定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，正方形的性质可归纳为以下四条：（1）正方形的对边平行，并且四条边相等；（2）正方形的四个角都是直角；（3）正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；（4）正方形既是轴对称图形（有四条对称轴），又是中心对称图形。

正方形的特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45度；正方形两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，两条对角线与边的夹角也是45度3、 正方形的判定：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形；定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形正方形的判定方法正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？典型例题1、(2008浙江义乌)下列命题中，真命题是 ( )A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形　 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2、 （2008广州市）如右图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ） A B 2 C D 4、（2008佛山12）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ° ．BCDAP5、(2008黑龙江黑河)已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．BBMBCNCNMCNM图1图2图3AAADDD课堂练习1、以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB＝＿＿＿。

2、一个正方形的对角线长3cm，则它的面积为＿＿＿3、如图所示，把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、C、D都是小正方形的顶点，则四边形ABCD的面积为＿＿＿4、正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和是＿＿＿5、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是＿＿＿形6、如图所示不，在正方形ABCD中，M是BC上一点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于G，交CD于H，若AM＝10cm，则GH＝＿＿10、如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的旋转对称中心，则图中阴影部分的面积是＿＿精心选一选！1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是＿＿A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD　B、AD∥BC，∠A＝∠C　C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC2、如图所示，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE＝CH，连结DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是＿＿＿＿A、BE＝DH　B、∠H＋∠BEC＝90°　C、BG⊥DH　D、∠HDC＋∠ABE＝90°3、正方形具有而菱形没有的性质是＿＿＿。

A、对角线互相平分　B、每条对角线平分一组对角　C、对角线相等　D、对边相等4、以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可作＿＿A、1个　B、2个　C、3个　D、4个5、在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有＿＿A、5个　B、12个　C、9个　D、15个6、如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE，则∠AEB＝＿A、10°　B、15°　C、20°　D、12.5°7、下列说法错误的是＿＿A、四个角相等的四边形是矩形　B、四条边相等的四边形是正方形　C、对角线相等的菱形是正方形　D、对角线互相垂直的矩形是正方形8、如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝2DC，M、N分别在AB两边的延长线上，且有MA＝AB＝BN，则MC与DN的关系是＿＿A、相等　B、垂直　C、垂直且相等　D、不能确定9、两条邻边分别是15cm和20cm的平行四边形最大面积是＿＿＿＿cm2A、75　B、150　C、200　D、300简答与证明1、如图所示，正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F请猜想EF与PD的数量关系、位置关系，并说明理由。

2、已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE试说明：DG＝BE3、已知：如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC的交点，AF、BE交于点G，连结CG，试说明：ΔCGB是等腰三角形4、如图所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形5、已知：如图所示，E、F分别是正方形的边BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF6、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MN⊥DM，BN平分∠CBE，试说明：MD＝MN7、已知：如图所示，ABCD是正方形，过B作BF∥AC，E是BF上一点，四边形AEFC是菱形，试说明：∠FCA＝5∠F8、如图所示，ABCD是正方形，AE∥DB，BE＝BD，BE交AD于F，试说明：ΔDEF是腰三角形考点二:梯形1、 梯形的概念：一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形在梯形中，平行的两边叫做梯形的底边，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高梯形是特殊的四边形，它保持了四边形的一般性质，同时还具有其特殊的性质：（1） 从边看成，平行的一组对边不能相等，否则它就成了平行四边形；（2） 从角看成，同一腰上的两个角互补；（3） 梯形上下底是以长短区分的，不是由位置确定的。

2、等腰梯形的定义：把两腰相等的梯形叫等腰梯形3、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个底角相等，两个对角线相等梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半4、等腰梯形的判定：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的判定方法有：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形5、 简单平面图形的重心：作用于物体的各部分的重力，可以看成做一个大小等于各个重边总和的力作用于物体的苛一点，这一点就叫做物体的重心注：一条线段的重心就是这条线段的中点；三角形的重心是它的三条中线的交点；平行四边形的重心是两条对角线的交点；中心对称图形的重心是它的对称中心点，轴对称图形的重心一定在它的对称轴上典型例题DCFBAE1. (2008年浙江省绍兴市)如图，沿虚线将剪开，则得到的四边形是（ ）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形2. （2008年山东省潍坊市）如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( ) A.80° B.70° C.75° D.60°3.（2008年湖南省邵阳市）学生在讨论命题：“如图（1），梯形中，，，则．”的证明方法时，提出了如下三种思路．思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形；思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形；思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形．请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．ADCB图（1）4.(2008广东深圳)如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C＝2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．（2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长．课堂练习一． 选择题：1．四边形四个内角的度数之比为2：2：1：3，则此四边形是（ ）A 任意四边形 B 任意梯形 C 等腰梯形 D 直角梯形2．在周长为40cm的。