几种递推数列通项公式的求法.docx

几种递推数列通项公式的求法福建省永定县第一中学 简绍煌递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由 相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为 二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一 是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法．1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式：(1) x 二 x + f (n)n+1 n这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列｛f(n)｝可求前n项和).当f (n)为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式.而当f (n)为等差数列时,则x二x + f (n)为二阶等差数列，其通项公式应当为x二an2 + bn + c形式，注意与等 n +1 n n差数列求和公式一般形式的区别，后者是S二an2 + bn，其常数项一定为0.n(2) x 二 g(n)xn+1 n这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列｛g(n)｝可求前n项积).当g(n)为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式.(3) x = qx +d (q,d为常数,q 丰 0,q 丰 1)； n+1 n这类数列通常可转化为x + p = q(x + p)，或消去常数转化为二阶递推式n+1 nx - x 二 q(x - x ).n+2 n+1 n+1 n［例1］已知数列｛x ｝中，x二1, x二2x + 1(n > 2)，求｛x｝的通项公式.n 1 n n-1 n［解析］解法一.转化为x + P = q(x + P)型递推数列.二 2x + 1(n > 2),・°・ x +1 二 2(xn-1 n n-1n +1 n+ 1)(n > 2)'又"1+ 1二 2，故数列｛ xn + 1 ｝是首项为2,公比为2的等比数列x +1二2n，即x二2n — 1. nn解法二.转化为x — x二q(x — x )型递推数列.n+2 n+1 n+1 n•/ x =2x +l(n三2)n n-1① ・ x =2x +1 ②n +1 n②－①，得x — x 二2(x — x ) (n三2)，故｛ x — x ｝是首项为 x-x=2,n+1 n n n—1 n+1 n 2 1公比为2的等比数列，即x — x = 2 2n—1 = 2n，再用累加法得x = 2n — 1 .n+1 n n解法三．用迭代法．x = 2x + 1 = 2(2x + 1) + 1 = 22 x + 2 + 1 = 2n-1 x + 2n—2 + 2n—3 + •…2 + 1 = 2n —1・ n n—1 n—2 n—2 1当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．1［例 2］已知函数f (x) = —2x + 2(^ < x < 1)的反函数为 y 二 g(x),x 二 1,x 二 g(x ),2 1 2 1x二g(x )，…,x二g(x )，…,求数列｛x｝的通项公式.3 2 n n—1 n11［解析］由已知得 g (x)二一A x +1(0 < x < 1)，则 x 二 1,x 二一恳 x + 1(n > 2).2 1 n 2 n —11 1 3 2令x + p 二—(x + p)二，则x 二—x - p •比较系数，得p .n 2 n—1 n 2 n —1 2 32 1 2 2 2 1 1 即有x 一 - — —(x ——)(n > 2) 数列｛ x 一 ｝是以x 一 =-为首项，—~为 n 3 2 n —1 3 n 3 1 3 3 22 1 1 1 1 2公比的等比数列，• x 一 =— (一 )n-1，故x = (一 )n-1 + •n 3 3 2 n 3 2 3［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．(4) x =-^ (c,d为非零常数)；n+1 x + dn1 d 1 1 1若取倒数，得 =——+—,令y =，从而转化为(I)型而求之.x c x c n xn +1 n n(5) x = qx +dn(q,d为非零常数,q 丰 1,d 丰 1)；n+1 nx q x 1 x这类数列可变换成/+1 = □ n + ，令y = n，则转化为(1)型一阶线性递推公式.d n +1 d d n d n d n［例3］设数列｛x ｝满足：x = 1, x = 3x + 2n(n e N*)•求数列｛x ｝的通项公式.n 1 n+1 n nx 3 x 1 3 x［解析］x = 3x + 2n，两边同除以2n+1，得;= 七^ + •令y =， n+1 n 2n+1 2 2n 2 n 2 2n3 1 3 3 7则有y = Qy + •于是，得y +1 = (y +1)，…数列｛歹+】｝是以首项为丁 +1 =， n +1 2 n 2 n +1 2 n n 4 43 7 3 7 3 1公比为恳的等比数列，故y + 1 = 了ETn-1，即y = Q^-)n-1 — 1，从而x = 703n-2 — Q2n+1 •2 n 4 2 n 4 2 n 3［例4］设x为常数，且x = 3n-1 — 2 x (n e N*),求数列｛x｝的通项公式.= 3n—1 — 2xn —1代入，可解出p = — 50 n n —1 n［解析］设 x + pD3n = —2( x + pD3n-1),用 xn n—1 n3n 3 3 2• ｛xn 一 H ｝是以公比为-2,首项为3 一 5 = 1 - 2 x0 一 F = ? 一 2 x0的等比数列.-—2x )(—2)n-1 + 3 = 3n — (—1)n 血 + (—1)n 卫” Qx (n g N*).5 0 5 5 0(6) x = cxp(x > 0,c > 0,p > 0,p 丰 1) n+1 n n这类数列可取对数得lgx = lgx + lgc ,从而转化为等差数列型递推数列.n +1 n2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列5 5 23 n+1 3 n［例5 ］设数列｛x ｝满足：x = 1, x =一，x = x — x (n g N*)・求数列1 2 3 n+2｛x ｝的通项公式.n—3 x (n g N*),可得25［解析］由x = x n + 2 3 n +1 3 n2 2 2x —x = x — x = (x — x )(n g N*).n + 2 n +1 3 n +1 3 n 3 n +1 n且 y 二 x — x = — 1 =,1 2 1 3 32设y = x — x U｛y ｝是公比为2的等比数列， n n +1 n n 322故 y =(k)n(n g N*).即 x — x =(k)nT(n > 2).用累加法得 n 3 n n —1 32 2 2x — x = (x — x ) + (x — x ) +—・ + (x — x ) = ( )n—1 + ( )n 一2 +—・ + , 或n 1 n n —1 n —1 n — 2 2 1 3 3 3x =(x —x )+(x —x )+・+(x —x )+xn n n —1 n —1 n —2 2 1 1=(—)n—1 + (—) n—2 + ・・.+ — + 13 3 31-(3)n 2=芥=3［1— (-)n )j 1 - 2 33［例6］在数列｛x ｝中，已知x = x = 1, x = x + x (n g N*),求数列｛x｝的通n 1 2 n+2 n+1 n n项公式．［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列令y = x -ax，使数列｛y｝是以a为公比的等比数列(a ,a待定).n n+1 1 n n 2 1 2即x — a x = a (x — a x ),・°・x = (a + a )x — a a x .对照 已给递推式,n + 2 1 n +1 2 n +1 1 n n + 2 1 2 n +1 1 2 n有a + a = 1, a a = — 1,即 a、a 万^^x2 — x — 1 = 0 的两个实根.1 2 1 2 1 2从而a =匕5, a =仝^a = ―, a =匕51 2 2 2 1 2 2 21 - J5— Xn1-451+岛— Xn或 xn+2 xn+1 =^T~ (xn+1 2由式①得xn+1n ；由式②得1 - ■< 5— x2nxn+1x - x _ (xn+2 2 n+1 2 n+1 2n］．)n 一2得x _丄［J心n 、；5［解析］由X二x - xn + 2 n +1 n①，得x _ x - xn+3 n+ 2 n+1②．消去 x ，n+1［例 7］在数列｛x ｝中，已知x _ x _ 1, x _ x -x (n e N*),求x . 1 2 n + 2 n +1 n 100式②+式①，得x _-x，从而有x _-x _ x •・：数列｛x ｝是以6为其周期.故n + 3 n n + 6 n +3 n nx = x =-1 .100 43 特殊的 n 阶递推数列［例 8］已知数列｛x ｝满足 x _ 1, x _ x + 2x + 3x + •••+ (n- 1) (i > 2),求n 1 n 1 2 3 n - 1｛ x ｝ 的通项公式.n［解析］丁 x _ x + 2x + 3x + + (n - 1)x (n > 2) ①n 1 2 3 n -1・°・ x _ x + 2x + 3x + + (n - 2)x (n > 3) ②n -1 1 2 3 n -2x②一①，得 x _ nx (n > 3).・一^ _ n(n > 3),故有n n -1 xn -1xx —n— _ n, —n-1xn -1x将这几个式子累乘，得f _ n(n — 1)(n — 2)…3, 或x __ n(n — 1)(n — 2)…3x・x n 22「1乂 x _ 1, x _ x _ 1,故 x1 2 1 nn!(n _ 1),(n > 2).1求数列｛x ｝的同项公式.n［例 9］数列｛ x ｝满足x _ ,x + x + …+ x _ n2xn 1 2 1 2 n n［解析］由 x + x H F x = n2x ①，得 x + x H F x = (n -1)2 x (n > 2)②.1 2 n n 1 2 n-1 n-1式①一式②，得 x = n2x — (n — 1)2 x ，或(n — 1)2 x = n2x — x = (n2 — 1)x，故有n n n-1 n-1 n n nx n—xn —1n—1n +1(n > 2) .x n — 1 n—= x n F 1n —1x n—2n 1 = xnn—2x n 一 3―n 2 =x n 一 1n—3x n 一 4,n 3 =x n 2n 4x2x 2口 2口 。