北师大版九年级数学上《成比例线段》例题精讲与同步练习参考.pdf

文库独家】比例线段例题精讲与同步练习教案一. 知识要点：（一）比例线段1. 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b 的长度分别是m ，n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n ，或写成, 其中 a 叫做比的前项;b 叫做比的后项2. 成比例线段： 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段，如果，那么，叫做组成比例的项，线段，d 叫做比例外项，线段，叫做比例内项，线段还叫做，的第四比例项4. 比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段叫做线段和的比例中项（二）比例的性质：(1) 比例的基本性质：(2) 反比性质：(3) 更比性质 : 或(4) 合比性质 : (5) 等比性质 : 且( 三) 平行线分线段成比例定理1. 定理 : 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例3. 平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例4. 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线), 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边。

这四个定理主要提出由平行线可得到比例式; 反之 , 有比例可得到平行线首先要弄清三个基本图形这三个基本图形的用途是: 1. 由平行线产生比例式基本图形 (1): 若l1/l2/l3，则或或或基本图形 (2): 若 DE/BC，则或或或基本图形 (3): 若 AC/BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置2由比例式产生平行线段基本图形 (2): 若, , , , , 之一成立， 则DE/BC基本图形 (3): 若, , , , , 之一成立， 则AC/DB二. 本讲内容所需要的计算与证明方法计算方法1. 利用引入参数求解相关命题的方法2. 会利用比例式建立方程求线段的长证明方法 : 会证比例式及等积式, 会添加必要的辅助线求解相关命题三. 例题例 1. 已知 : a:b:c=3:5:7且 2a+3b-c=28, 求 3a-2b+c 的值分析 : 题目中已知三个量a,b,c 的比例关系和有关a,b,c的等式 , 我们可以利用这个等量关系, 通过设参数 k, 转化成关于k 的一元方程 ,求出 k 后, 使得问题得解解: a:b:c=3:5:7 设 a=3k, b=5k, c=7k 2a+3b-c=28 6k+15k-7k=28 ， k=2 3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 例 2: 若, 求的值。

解: 设则 x=3k, y=4k, z=5k 说明 : 在这个问题中, 不必求出K的值 , 就可以把问题解决了例 3. 如图 , 在ABCD中,E 为 AB中点 , ,EF,AC 相交于 G,求分析 : 欲求, 就需要有平行线, 并使已知条件得以利用, 虽然题目中有平行线, 但无基本图形,不能使已知条件发挥作用, 需通过添加辅助线来寻找解题途径, 构造基本图形解: 分别延长FE,CB相交于 H,( 构造出了基本图形) 在ABCD 中,AD BC, E为 AB中点， AE=BE AD/BC， AFE= H 在 AEF和 BEH中在 AEF BEH(AAS) AF=BH ，设AF=k, 则 FD=3k， AD=4k ， BH=AF=k ， BC=AD=4K ，CH=5K AD/BC，即 AF/HC 说明 : 此题还有其他辅助线的作法, 例如分别延长EF,CD相交于 M 或取 AC中点 N,连结 EN 请同学们思考 , 这两种方法构造了哪些基本图形, 如何求出例 4. 已知 : 如图 ,D 是 ABC的 AB边的中点 ,F 是 BC延长线上一点,连结 DF交 AC于 E点求证 : EA:EC=BF:CF 分析 : 这是证明比例式的问题, 根据题目条件 , 不能直接证出要求证的比例式 , 并且四条线段中EC ， CF在同一个三角形中, 而 EA,BF不在同一个三角形中, 因此需要添加适当的辅助线 ( 平行线 ) 来构造形成比例的基本图形 ( 由平行得比例 ) 。

为了利用BF:CF, 故可以过C点作平行线来构造基本图形证法一 :过 C作 CH/AB 交 DF于 H CH/AB，即 CH/BD 又 CH/AD，D是 AB中点AD=BD （等比代换）即 EA:EC=BF:CF 证法二 : 过 C 作 CM/FD 交 AB于 M CM/FD CM/ED D是 AB中点AD=BD EA:EC=BF:CF (等比代换 ) 说明 : 在上面证明过程中, 我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法 , 这也是一种经常使用的方法本题还可以过B点作 AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明 , 请同学们自己来证总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法例 5. 已知 : 如图 , 菱形 ABCD 内接于 AEF,AE=3,AF=5,求菱形 ABCD 的边长分析 : 有平行线就能得到比例线段, 求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决, 本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法, 注意掌握解题的思路解: 菱形 ABCD 内接于 AEF AB/CD,AB=BC=CD=AD 设 菱形边长为x, 则 CD=AD=x( 适当设出未知数) AF=5 DF=5-x( 有关的量要用含未知数的代数式表示) CD/AB 即 CD/AE 且 AE=3 （得到相等关系）( 利用比例式建立了关于x 的方程 ) 5x=15-3x ，x= ( 解出方程 ) 菱形 ABCD的边长为。

四 . 练习 :1. 已 知, 求的值2. 已知 : 如图 , ABC中,DE/BC AB=8,AD=5,EC=4,求 AE的长3. 已知 a=4,c=9 若 b 是 a,c 的比例中项 , 求 b 的值4. 已知线段 MN是 AB,CD的比例中项 ,AB=4cm,CD=5cm ，求 MN的长并思考3、4 两题有何区别5. 已知 : ABC中,D 是 BC上一点 ,BD=3CD,M是 AD中点 , 连 BM延长交 AC于 E求:AE:EC6. 已 知: 如图 , ABC中,CD 平分 ACB,DE/BC, AD:DB=2:3,AC=10,求 DE的长练习参考答案 : 1. 2. 3. 4. 3、4 题区别 : 第 3 题中 b 是数 ,可为正也可为负; 第 4 题中 MN为线段 , 只能为正5. 提示 : 或作 DN/AC 交 BE于 N 作 CO/BE 交 AD延长线于O 或或作 AP/BE 交 CB延长线于P 作 AQ/BC 交 BE延长线于Q 结论 : AE:EC=3:4 6.DE=6( 提示 : 用方程的思想方法)测试选择题1已知线段d 是线段 a、b、c 的第四比例项，其中a=2cm ，b=4cm ，c=5cm，则 d=（）（A）1cm （B）10cm （C）（D）cm 2已知： 8x+3y-5z=0 ，且 2x-3y+z=0 ，那么 x：y： z 的值是（）（A）1：2：3 （B）2：3：5 （C）3：3：4 （D）2：2：3 3如图， DE AC ， EF AB ，AC=14 ，AD ：DB=3 ：4，则 AF的长是（）（A）6 （B） 10 （C）8（D ） 9 4已知，如图ABC中， AD BC ，E是 AC的中点。

那么下列比例式成立的是（）（A）AB ：AC=DF ： BC （A）AB ：AC=EF ： ED （C）AB ：AC=BF ： FD （D）AB ：AC=AC ： AD 5已知：如图，在梯形ABCD中， AD BC ，对角线AC ，BD交于 O，过 O作底的平行线，分别与两腰交于 E，F，则（A）OE= OF （B） OE=OF （C）OE=2OF （D ）OE+OF=BD 答案与解析答案： 1、 B 2 、 B 3、C 4 、C 5、B 解析：1、答案（ B）2、答案（ B）解析： x：y：z=( z) ：( z) ：z=2：3：5 3、答案（ C）解析： DE AC CE ：BE=AD ：DB=3：4 EFAB CF：AF=CE ：BE=3 ：4 设 CF=3x ，则 AF=4x AC=14 3x+4x=14 x=2 CF=6 AF=8 4、答案（ C）解析：作AG BC交 DF于 G BF：AB=FD ：DG AD CD ，AG BC ADC= DAG=900E为 AC的中点ED=EA 1=2 AD为公共边 GAD CDA AC=DG BF ：AB=FD ：AC 即： AB ：AC=BF ：FD 5、答案：（ B）解析： OE AD ， OE ：AD=BE ：AB OF AD ， OF ：AD=FC ：CD AD EFBC ， AE ：BE=DF ：CF （AE+BE ）：BE= （DF+CF ）：CF 即 BE ：AB=CF ：CD OE ：AD=OF ：AD OE=OF 中考解析例 1. ( 杭州市 ) 已知： 1，2 三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_。

评析： 思路：运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可，一题可以写出三个数，都与1、 2 三数构成比例如：1: =2:2 ，1:2= :2 等 ( 只要是含 1，2 三数的比例式即可，若是三数不含全的则不符合题意例 2. ( 上海市 ) 已知数 3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是 _（只需填写一个数）评析：因为此题是一个主观性质的试题，它不是求这两个数的比例中项而是让自己写出一个数，使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项，所以只要明白比例中项的意义，就能写出符合条件的一个数结论不是唯一的3 （或 -3 ，或 12，或）例 3. （河北省）已知：如图，l1l2l3，AB=3 ，BC=5 ，DF=12 求 DE和 EF的长评析：思路：此题关键是求DE ， L1L2L3，由条件 AB=3 ， BC=5 ，DF=12 ，DE得求而 EF=DF DE答案：解：l1l2l3，即，DE= . EF=DF-DE=12- = . 例 4. （北京市海淀区）如图，在ABC中， MN BC ，若 C=68， AM ：MB 1：2，则 MNA=_ 度， AN ：NC _。

评析：首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果答案为 68， 1:2 例 5.（西安市） 油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为评析：将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得RtABC ，其中 AB=1m ，AC=0.8m ，BD=0.8m，DE/BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得答案为0.64m。