最新【课堂坐标】高中数学北师大版必修4学案：2.4　平面向量的坐标 Word版含解析.doc

最新北师大版数学精品教学资料§4　平面向量的坐标4．1　平面向量的坐标表示4．2　平面向量线性运算的坐标表示4．3　向量平行的坐标表示1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)[基础·初探]教材整理1　平面向量的坐标表示阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题．如图2－4－1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．图2－4－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　)(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　)(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样．(　　)【解析】　(1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标．(3)错误．两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×教材整理2　平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示阅读教材P89～P91“练习”以上部分，完成下列问题．1．平面向量的坐标运算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么：①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)；③λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．2．向量平行的坐标表示(1)设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则存在实数λ，使a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0.若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝.(2)文字语言描述向量平行的坐标表示①定理　若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例．②定理　若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.(　　)(2)向量a＝(1,2)与b＝(－3，－6)共线且同向．(　　)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则＝.(　　)【解析】　(1)正确．a∥b，则a＝λb可得x1y2＝x2y1.(2)错误．a＝－3b，a与b共线且反向．(3)错误．若y1＝0，y2＝0时表达式无意义．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型]平面向量的坐标表示　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．【精彩点拨】　表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标【自主解答】　如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，∴C(1，)，D，∴＝(2,0)，＝(1，)，＝(1－2，－0)＝(－1，)，＝＝.1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．[再练一题]1．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量，.【解】　如图所示，以点O为原点，所在射线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．∵||＝1，∠AOB＝150°，∴B(－cos 30°，sin 30°)，即B.∵||＝3，∴C(－3sin 30°，－3cos 30°)，即C.又∵A(2,0)，∴＝－(2,0)＝，＝－＝.向量坐标的线性运算　已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标. 【导学号：66470051】【精彩点拨】　先求出的坐标，然后求，的坐标，最后求出，及的坐标．【自主解答】　∵A(－1,2)，B(2,8)，∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，＝＝(1,2)，＝－＝＝(1,2)，则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此＝(－2，－4)．1．向量的坐标形式的线性运算，主要是利用加、减、数乘运算法则进行．2．若已知线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．[再练一题]2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1) 求3a＋b－3c的坐标；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标．【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．[探究共研型]向量平行的坐标表示探究1　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若向量a，b共线(其中b≠0)，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】　这两个向量的坐标应满足x1y2－x2y1＝0，反之成立．即a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.探究2　如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？【提示】　当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【精彩点拨】　由a，b的坐标→求ka＋b，a－3b坐标→由向量共线的条件列方程组→求k的值→判断方向【自主解答】　法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得解得k＝λ＝－.即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，∵λ＝－＜0，∴ka＋b与a－3b反向．法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．∵ka＋b与a－3b平行，∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．[再练一题]3．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．【解】　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝.[构建·体系]1．下列各组向量共线的是(　　)A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6)B．a2＝(2,3)，b2＝(3,2)C．a3＝(1,2)，b3＝(7,14)D．a4＝(－3,2)，b4＝(6,4)【解析】　因为b3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a3，所以a3与b3共线．【答案】　C2．已知a＝(3,5)，b＝(－3,2)，则a＋b＝(　　)A．(8，－1)　　　　　　 B．(0,7)C．(7,0) D．(－1,8)【解析】　a＋b＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2)＝(0,7)．【答案】　B3．已知A(4,1)，B，C，若A，B，C共线，则x＝________. 【导学号：66470052】【解析】　因为＝，＝，所以(x－4)＝，解得x＝－1.【答案】　－14．已知点A(2,3)，B(－1,5)，且＝，则点C的坐标为________．【解析】　＝＝，＝＋＝，即C.【答案】　5．已知A(1,2)，B(3，－6)，向量a＝(x＋3，y－4)．若a＝2，求x，y的值．【解】　由题意得＝(3，－6)－(1,2)＝(2，－8)，所以2＝2(2，－8)＝(4，－16)．又因为a＝(x＋3，y－4)，a＝2.所以解得我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。