傅里叶变换和拉普拉斯变换.docx

一傅里叶变换在应用上的局限性在第三章中，已经介绍了一个时间函数f (t)满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换即F j ）=" f （t 1 -jQdt（正变换） （5. 1）f C）= — js F①2兀-s （反变换） （5.2）但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号UC）,斜变信号 tU（t），单边正弦信号Sin°tU°等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅 里叶变换还有一些信号，例如单边增长的指数信号eaU（t）（a > 0）等，则根本就不存在傅里叶变 换另外，在求傅里叶反变换时，需要求°从-s到s区间的广义积分求这个积分往往是十 分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应在需要求零 输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制所以，当今在研究 线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一实际上，信号f （t）总是在某一确定的时刻接入系统的若把信号f （t ）接入系统的时刻 作为t = 0的时刻（称为起始时刻），那么，在tvo的时间内即有f （）=0。

我们把具有起始时 刻的信号称为因果信号这样，式（5-1）即可改写为(5-3)F (j°)=!sf (t 1 - j°dt0-式（5-3）中的积分下限取为0-,是考虑到在t = 0的时刻 Z中有可能包含有冲激函数5（t）但要注意，式；5-2）中积分的上下限仍然不变（因积分变量是° ），不过此时要在公式后(5-4a)f C)=丄『8 F(j®\jQd①2 兀—g t>0或用单位阶跃函数U 加以限制而写成下式，即(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数f°〉不满足绝对可积条件时，可采取给f°)乘以因子e—ct(c为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数f ()e—ct今若能根据函数f (t)的具体性质，恰当地选取◎的值，从而使当t时，函数f (t )e—ct f0，即满足条件则函数J3et即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在可见因子e -ct 起着使函数f °)收敛的作用，故称e -ct为收敛因子设函数f(()—ct满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取的值来达到)，则根据 式(5-3)有F (j® )」f (t 1 —cte—j®tdt =jg f(t )e-(c+j®)t dt0—0—s 为一复数变量，称为复频在上式中，沖是以G +丿®)的形式出现的。

令s=c + j®i率c的单位为s，®的单位为rad/s这样，上式即变为F(j® )= jg f (t)e —st dt0—由于上式中的积分变量为t,故积分结果必为复变量s的函数，故应将F (jo)改写为F °),即 F(S)=J o：f(t 丄-Stdt (5-5)复变量函数f c)称为时间函数f)的单边拉普拉斯变换°F °)称为f c)的像函数,为F °)的原函数一般记为F (s )= Lf Q]符号Li匚]为一算子，表示对括号内的时间函数f ()进行拉普拉斯变换)利用式(5-4)可推导出求 F s 反变换的公式，即f (t)e -对上式等号两边同乘以e，并考虑到e不是3的函数而可置于积分号内于是得f(t)=丄 Jg F(s\°tej3td3 —丄卜 F(s\(°+j3)td3 —丄卜 F(s\泌3 2兀 —g 2兀 —g2兀—g(5-6)()由于式(5-6)中被积函数是2，而积分变量却是实变量3所以欲进行积分，必须进行变量代换因s =o + j3故ds - d° +3)- jd3 (因°为任意实常数)故且当3 ——g时，s =o— jg ；当3 —g时，s =o + jg将以上这些关系代入式(5-6)即时，f C)=丄广+jg F (s ktds2 兀 j °—jg t > 0(5-7a)仟冋 F (s \stds U C)写成(5-7b)G— jg _式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数F')求与之对应的原函数f (t)。

一般记为f C)= l-1 [f C)]符号L-1 口也为一算子，表示对括号内的像函数f c)进行拉普拉斯反变换式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为f(t)o F(s)或 F(s)o f C)若f(t)不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(—g)，即F(s)=fg f(tLtdt—g (5-8式(5-8)称为双边拉普拉斯变换因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要 讨论和应用单边拉普拉斯变换以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即 而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，三、复频率平面以复频率s = G +j®的实部G和虚部j®为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频 率平面，简称s平面，如图5-1所示复频率平面(即s平面)上有三个区域：j®轴以左的区 域为左半开平面；j®轴以右的区域为右半开平面；j®轴本身也是一个区域，它是左半开 平面与右半开平面的分界轴将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数f(t)乘以收敛因子e-Gt后,所得新的时间函数f()e —Gt便有可能满足绝对可积条件。

但是否一定满足，则还要视 f t 的性质与& 值的相对关系而定下面就来说明这个问题因f()』f(:e -st dt 二 J® f (\ -&te - j«>tdt0-0-FQ - limf()e-& = 0由此式可见，欲使F 存在，则必须使fWe y满足条件t ”2 收敛域A面平5收敛坐标///////o左半开 平面右半开平面25-5-1图式(5-9)中的Go值指出了函数fWey的收敛条件◎ o的值由函数Z的性质确定根据◎ 0 的值，可将s平面(复频率平面)分为两个区域，如图5-2所示通过◎ 0点的垂直于◎轴的直 线是两个区域的分界线，称为收敛轴，◎ 0称为收敛坐标收敛轴以右的区域(不包括收敛轴 在内)即为收敛域，收敛轴以左的区域(包括收敛轴在内)则为非收敛域可见f Q或F°)的 收敛域就是在s平面上能使式(5-9)满足的&的取值范围，意即◎只有在收敛域内取值，f )()的拉普拉斯变换 2 才能存在，且一定存在五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即 s 域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。

关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1 中列出对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍表 5-1 拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称f (t h (t)F C )1唯一性f (t)F Q )2齐次性Af (t)AF (s )3叠加性fC)+f C)丿1 丿2F Q )+ F (s)1 24线性Af C)+ Af (t)1 1 2 2AF(s)+ A F C)11 2 25尺度性f (at)， a > 01F f £ ] a I a丿6时移性f ( -1 ^U (t—t)， t > o0 0 ' 0F (s )e -107时域微分f (t )e - atF (s + a )8复频微积分f ()sF (s)— f (0 —)f"()s 2 F (s)—f (0-)- f r(0-)f (n )(t)SnF (s)— Sn-1 f 6- )— Sn-2f' - ) 一 fn —1 —)9复频移性tf (t)(1)1 dF (S )dstf (n) (t)(d dnF(s)dSn10时域积分J t f(T)dT0—F (s )s11复频域f (t)t严 F (s )s积分12时域卷积f 0* f C)丿1 丿2F (s )F (s )1 213复频域卷积f (t )f2 (t)—F (s )* F (s )2n 1 214初值定理f ()cos O t0-(F(s + jo )+ F(s - jo )]2 o of ( )sin o t0-[f(s - jo )- F(s + jo )]2 o o15终值定理f 6+)=lim f C)= lim sF (s )t—0 + t—g16调制定理f 6)= lim f C)= lim sF (s )t—g t t0利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数fQ的拉()普拉斯变换式，如表5-2中所列。

利用此表可以方便地查出待求的像函数F "或原函数表 5-2 拉普拉斯变换表序号f (t h (t)F C )1儿)12bn Qsn3U C)14t+5tnn!sn+16e—ats + a7te—at(s + a 力tne - atn!+ a 丄+110sin® t11cos® t12e -at sin ® t13e -at cos ® ts + a+ a J2 +® 214t sin ® t2®s2 +® 215tcos®tS2 -®2——J亍2 +®®2几16sh®tS2 -®217ch®tS 2 -® 218£ 5 (t - nT)1 — e-sT19£ f (t - nT)F (s)01 一 e-st20£n=0- nT) - U(t - nT -t )]T >t—e-sT—e - st七、拉普拉斯反变换从已知的像函数F°)求与之对应的原函数f°),称为拉普拉斯反变换通常有两种方法1部分分式法由于工程实际中系统响应的像函数FC)通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦 即是s的一个有理分式，即/、Ns)b —F bs+bF\S)— m ml 1 0n-1Ds丿 sn + a sn-if fas+a1 0(5-10)式中，a 0, ai，…，an-i…和bi, b2，…，bm等均为实系数；m和n均为正整数。