九章算术中的立体几何.docx

《九章算术》中的立体几何《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名•刘 徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷在继承 的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多 借鉴的地方《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有 问、答、术三部分组成内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活 紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观其中卷第五“商功”，主要讲 各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、 圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要 题库卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（1）（文理）第6题，通过 古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算 能力题目是:《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问:积及为米几何？” 其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的 四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米 堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见 例25）A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与 第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下， 供参考。

例1】今有穿地积一万尺•问为坚、壤各几何？【注释】穿地：挖地取土.坚：坚实的土.壤：松软的土.【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法. 【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺问积几何？ 【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少？ 【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.如图，底面为等腰梯形，上底a二20尺，下底b二40尺，高h二50尺，侧棱l二1265尺，所求体积V = S - h = (a + b) •h • l = (20 + 40) x 50 x 1265 = 1897500 立方尺.2【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积 几何？【注释】垣: 低矮的墙.【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问 这段矮墙的体积是多少？【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？ 【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤 的体积是多少？【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7 丈.问这段沟的容 积是多少？【例 6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一 寸.问积几何？【注释】堑:护城河 【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺 1寸.问这段护城河的容积是多少？【例 7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百 二十四尺.问积几何？【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸，深1丈8尺，纵长5万1千8百24 尺.问这段渠的容积是多少？【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？ 【注释】堡壔:土筑小城. 方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6 尺，高1丈5尺，问它 的体积是多少？【解析】本题是求正四棱柱的体积•底面正方形，边长a二16尺，高h二15尺，所 求体积 V 二 S • h = a • a • h = 16 x16 x 15 二 3840 立方尺.【例 9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？ 【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求圆柱的体积•设底面圆的半径为r ,周长c，高h ,因为c二2“ r,所以r =，则所求体积V = S -h =兀r2 -h = = = 2112 (取兀=3 )立方2“ 4 兀 12尺.【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈•问积几何？【注释】方亭:正四棱台形建筑物.【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为5丈，上底面正方形的边长为4丈，高为5丈•问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为a，上底面的面积为S ,下底边1长为b，下底面的面积为S,高h，则所求体积V = - h (S + S +JST),2 3 1 2^121 305=—(a 2 + b 2 + ab) h = 立方丈.3 3对于公式V = 1 h(S + + ^ST)适用所有棱台或圆台计算体积.【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈•问积几何？【注释】圆亭：圆台形建筑物.【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆台的体积•设上底面圆的半径为r，周长为C = 2“ r，面积1S =“ r2，下底面圆的半径为R，周长为C = 2“ R，面积为S =“ R2，高h •对于圆 1 1 2 2台，可以用上下底圆的面积面与高表示为：V = 1 h(s + + )，也可用上下底面圆的半径与高表示：V = 1 “ h(r2 + R2 + rR)，也可用上下底面圆的周长与1 19高表示V = —— h(C2 + C 2 + CC )，所求体积为V =——立方丈.12“ 1 2 1 2 12“【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺•问积几何？【注释】方锥：正四棱锥.【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为2丈7尺，高为2丈9尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱锥的体积•设底面正方形边长为a，高为h •V = - Sh = - x 272 x 29 = 7047 立方尺.3 3【例 13】今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺.问积几何？ 【译文】现有圆锥,下底面圆的周长为 3丈5尺,高为5丈1尺.问它的体积是多 少？【解析】本题是求圆锥的体积•设底面半径为r，高为h .底面周长C二2兀r，底面积 S =兀 r2 = C2 ,于是体积 V = 1 Sh = - x兀 r2h =-兀(—)2 h = C2? = 62475 立4兀 3 3 3 2兀 12兀 12兀方尺.【例14】今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺•问积几何?【注释】堑堵：底面是直角三角形直三棱柱. A严二【译文】现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角形问它AhB的两条直角边宽为2丈，长为18丈6尺.高为2丈5尺 的体积是多少?【解析】本题是求直三棱柱的体积.如图，直三棱柱【译文】现有底面是矩形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥， 底面宽为5尺，长为7尺，高为8尺，问它的体积是多少?【解析】本题是求四棱锥的体积•如图所示，在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD是 矩形，侧棱PA丄平面ABCD,设底面矩形的宽为a = 5，长为b = 7，高为h = 8 .体 积 V =— Sh = x ab x h = x 5 x 7 x 8 = 立方尺.3 3 3 3【例16】今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺.问积几何? 【注释】鳖臑：四面都是直角三角形的四棱锥.【译文】现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺而无 宽，高7尺，问它的体积是多少?【解析】本题是求三棱锥的体积•如图（1）,在三棱锥S - ABC中，SA丄底面ABC, AC丄BC•图（2）、（3）是图（1）的不同视觉放置下的直观图.SAhCSC图（3）图（1）C 图（2 ）根据题意，a 二5 ‘b -4，高为h -7 •体积 v=3Sh=3x ah x b=3x 2x 5 x 7 x 4=70立方尺.3例 17】今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？【注释】羡除：墓道.三个侧面为等腰梯形，其余两个面为直角三角形的五面体.【译文】现有三个侧面都为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，下宽6尺，上宽1丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7 尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求规则形状的五面体的体积•如图，五面体EF- ABCD中，四边 形 ADEF, ABCD, EFBC 均为等腰梯形，EF 〃 AD 〃 BC. AABF, ACDE 均为直 角三角形，AB丄AF , CD丄DE.设下广EF二a ,上广AD二b ,末广BC二c •高:EF到平面ABCD的距离为h，长：AD与BC的距离l.算法:采用割的方法推导计算公式•连接BE，BD, AE，如图2,得三个三棱锥，设三棱锥BAEF的体积为V ,三棱锥BAED的体积为V ,三棱锥BDEC的体积为V ,则1 2 3V =1 clh，V =1 blh，二二-，V = aV ,所以 V = aV = 1 alh，于是五面体的3 6 2 6 V a 1 b 2 1 b 2 62体积公式 V = V + V + V = 1(a + b + c) x h x l .代入数据 a = 6, b 二 10, c 二 8,1 2 3 6l = 7, h = 3，代入公式得V = 84立方尺.【例 18】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？ 【注释】刍甍：盖上草的屋脊. 刍：草；甍：屋脊.这里指底面为长方形的屋脊 状的楔体.【译文】现有底面为长方形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈 无宽，高1丈，问它的体积是多少？【解析】本题是求底面为长方形的楔体（五面体）的体积.如图所示，在五面体EF - ABCD中，EF 〃底面ABCD，底面ABCD是长方形，EF到平面ABCD的距离为 h, BC 二 a , AB 二 b, EF 二 c. 算法：V = — (b + b + c) x ah6采用割的方法推导计算公式•连接BE, BF, DF，如图2,得三个三棱锥，设三棱锥ABDE的体积为V ,三棱锥BCDF的体积为V ,三棱锥BDEF的体积为V ,则1231 V c c c 1 1V = V = — abh , — = , V = — V = — x — abh = ach ,于是五面体的体积公式1 2 6 V b 3 b 2 b 6 62V = V + V + V = — (b + b + c) x ah .代入数据 b = 4 , c = 2, a = 3, h = 1，得 V = 51 2 3 6立方丈.【例19】今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？ 【注释】刍童：上下底面都为长方形的草垛.【译文】现有上下底面都为长方形的草垛，下底面宽。