辅助圆在物理解题中的应用.docx

辅助圆在物理解题中的应用江苏省姜堰二中 （225500） 蒋天林在物理中常借助辅助圆进行解题，现举例如下：图1一、“轨道圆”例 1 我国发射神舟号飞船时，先将飞船发送到一个椭圆 轨道上，其近地点M距地面200km，远地点N距地面340km 进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是V]、v2 当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的 发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340km的圆形轨v3 道，开始绕地球做匀速圆周运动这时飞船的速率为v3比较 飞船在M、N、P三点正常运行时（不包括点火加速阶段）的速 率大小，下列结论正确的是 （ ）A. V1>V2>V3 B. V3>V2>V1 C. V1>V2=V3 D. V1>V3>V2解析 由题意有飞船在近地点的速率大于远地点的速率，即V]>v2，飞船通过N点时 点燃发动机后的速率大于点燃发动机前的速率，即v3>v2，而V]、v3的大小似乎无法比较 过 M 点作一与椭圆相切的辅助圆，如图1 中的虚线所示，该圆是将飞船发送到椭圆轨道前（飞船通过点燃发动机后由该圆变成椭圆轨道）运动的轨道，设飞船在该“轨道圆”上M点 的速率为V。

则v]>vO，而飞船作匀速圆周运动时离地面越高，其线速度越小，即v0>v3, 故v]>v3，答案为（D）小结：本题解题的关键是画出变轨前的“轨道圆”，便于比较速率V]、v3二、“等时圆”在一竖直圆面内，从竖直直径上端沿不同方向放置一些长短不同的光滑弦，下端都在 同一坚直圆周上，则物体从静止开始沿不同弦从上端滑到下端，所用时间相等该圆称为“等时圆”例2在离坡底B为10m山坡上的O点竖直固定一根直杆，杆高OA也是10m，杆的 上端A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的小环（如图2）从A点由静止开始沿钢绳无摩擦的滑下，求它在钢绳上滑行的时间（g取10m/s2 ） 解析 如图2所示，我们可以从题中的两个“10m”出发，把AO /延长到C,使OC=OA=10m,则点O到A、B、C三点的距离相等 '以O为圆心，OA长为半径画圆，则B、C在“等时圆”的圆周上 由“等时圆”结论可知，小环从A滑到B的时间与从A自由落体到C图2C 的时间相等，即 tAB=tAC= U2AC g = \!2x 20 10 = 2（s） 小结：本题利用“等时圆”的结论大大简化了解题的过程三、“极值圆”例3如图3,用绝缘细线悬挂一质量为m、带电量为+q的小球，坚直平面内分布有场 强大小为E、方向不定的匀强电场，且Eqvmg，小球在电场中处于静止，求细线与坚直方向■ ■・・■■■■鬻点亮心灯~~~///「/）\\\~~~照亮人生■■・・■■■■鬻的最大夹角e及此时的电场方向。

解析 小球受到三个力作用而处于平衡，这三个力 构成一封闭三角形，随着电场力方向的变化，e不断变 化以F合的端点为圆心，电场力的大小Eq为半径画一 合辅助圆，当绳的拉力所在直线与辅助圆相切时，细线与 竖直方向的夹角最大，Sine =Eq/mg, e =arcSin (Eq/mg), mg 图 3 此时匀强电场的场强与水平方向的夹角也为arcSin (Eq/mg)小结：本题利用直线与圆相切时求出极值，该圆可称为“极值圆”，利用“极值圆”求 极值是物理中求极值的一种常见方法四、“等势圆”例4如图4所示，倾角为30°的直角三角形底边长2L,且处于水平位置，斜边为光 滑绝缘导轨整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，方向如图示，现在底边中点0F 合=mgEq处固定一正点电荷Q，让一质量为m的带正电的点电荷q从斜面顶端A处释放沿斜面滑下(不 脱离斜面)现测得它滑到B点在斜边上的垂足D点处的速度为V求该点电荷滑到斜面 底端C点时的速率v °解析 点电荷q在沿DC运动过程中，受到重力、弹力、电场力、洛仑兹力作用，弹力、洛仑兹力不做功，电场力的大小和方向在不断变化 是个变力它做的功似乎较为复杂由几何关系可 得D0=C0=B0,以0为圆心，0C长为半径画一辅 助圆，点电荷Q在该圆上各点产生的电势相同，故可称为“等势圆”。

点电荷q经D点到C点的过程 中电场力不作功，q从D运动到C的过程中，只有重力作功，由机械能守恒定律得2 mv 2 + mgCD sin 30o =12 mv 2 ①由几何关系有CD= ^3l②解①②得v = Jv02 + j3gL小结：本题利用“等势圆”找出了 D、C两点在同一等势面上的关系，使问题变得简单■ ■・・■■■■鬻点亮心灯~~~///「v')\\\~~~照亮人生■■・・■■■■鬻。