第03课三角形的内角和及多边形内外角和 人教版八年级数学上册全册知识点分层练习含解析答案.docx

第03课 三角形的内角和及多边形内外角和知识点01 三角形的内角（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°定理证明：三角形内角和是180°；证明：如图，延长BC到D，过点C作CE∥AB，∵CE∥AB,∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）∵,∴,∴（等量代换）；（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.知识点02 三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角和为360°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的反向延长线.（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点03 多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从边形的一个顶点出发，可以画(n-3)条对角线，边形一共有条对角线.（三）多边形的内角和公式：边形的内角和为；内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点知识点04 镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.考法01 三角形的内角与外角【典例1】若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44°，则此三角形的最大角是______.【答案】96°.设这个三角形其中一个内角的度数为x，则另一个角的度数为6x，第三个内角的度数为180°-x-6x=180°-7x，根据题意可得x+6x-(180°-7x)=44°，解得x=16°，则6x=6×16°=96°，180°-7x=180°-7×16°=68°，所以此三角形的最大角是96°.故填：96°.【典例2】如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是_____．【答案】∠1＜∠2＜∠3【分析】根据三角形外角的性质判断出∠1与∠2的大小，再判断出∠2与∠3的大小即可．【详解】解：如图，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＞∠1，同理，∵∠3是△BCD的外角，∴∠3＞∠2，∴∠1＜∠2＜∠3．故答案为∠1＜∠2＜∠3．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角大于任何一个与之不相邻的内角．【典例3】如图，，，，则的度数为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的性质解答即可．【详解】解：，，，，故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．考法02 多边形内外交和及镶嵌【典例4】已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形【答案】C【详解】试题分析：多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7．考点：多边形的内角和定理．【典例5】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【详解】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选B．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．分层提分题组A 基础过关练1．在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（　　）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】B【分析】设∠C=x，则∠B=x，∠A=x，再根据三角形内角和定理列方程求出x的值即可．【详解】解：∵在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，∴设∠C=x，则∠B=x，∠A=x，∵∠A+∠B+∠C=180°，即x+x+x=180°，解得x=90°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．∴△ABC是直角三角形，故选B．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）A．15° B．55° C．65° D．75°【答案】D【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°．【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°，∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°，∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．3．正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，则_________．【答案】12【分析】先根据外角和定理求出正六边形的外角为60°，进而得到其内角为120°，再求出正n边形的外角为30°，再根据外角和定理即可求解．【详解】解：由多边形的外角和定理可知，正六边形的外角为：360°÷6=60°，故正六边形的内角为180°-60°=120°，又正六边形的一个内角是正边形一个外角的4倍，∴正n边形的外角为30°，∴正n边形的边数为：360°÷30°=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．4．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）．A．∠A=2∠B-3∠C B．∠A+∠B=2∠C C．∠A-∠B=30° D．∠A=∠B=∠C【答案】D【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．【详解】解：A、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C，则∠A= °，所以A选项错误；B、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C，则∠C=60°，不能确定△ABC为直角三角形，所以B选项错误；C、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以B选项错误；D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=∠C，则∠C=90°，所以D选项正确．故选：D．【点睛】此题考查三角形内角和定理，直角三角形的定义，解题关键在于掌握三角形内角和是180°．5．如图，点D在△ABC内，且∠BDC=120°，∠1+∠2=55°，则∠A的度数为（ ）A．50° B．60° C．65° D．75°【答案】C【分析】根据三角形的内角和即可求出.【详解】在△BCD中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=60°，∵∠1+∠2=55°，∴∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠DBC+∠DCB=115°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=65°.故选C.【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和的性质.6．正十边形的外角和为（ ）A．180° B．360° C．720° D．1440°【答案】B【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选B．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．7．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【答案】B【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8，∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．故选：B．【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．8．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】由题意，正多边形的边数为，其内角和为．故选C.【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.题组B 能力提升练1．在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（ ）A．必有一个角等于 B．必有一个角等于C．必有一个角等于 D．必有一个角等于【答案】D【分析】先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案.【详解】设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：①②③综上所述，必有一个角等于90°故选D.【点睛】本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.2．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点P，设∠A=x°，用x的代数式表示∠BPC的度数，正确的是(　　)A．90+x B．90-x C．90+2x D．90+x【答案】A【解析】分析：根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠PBC+∠PCB的度数，最后根据三角形内角和定理即可求解．详解：如图：∵∠A=x°，∴∠ABC+∠ACB=180°−x°，∵∠B，∠C的平分线相交于点P，∴∠PBC+∠PCB=(180°−x°)，∴∠BPC=180°−(180°−x°)=90°+x°，故选A.点睛：本题考查了三角形内角和定理.3．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=(　　)A．180° B．360° C．540° D．720°【答案】C【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∵∠1+∠2+γ=180°①，∠3+∠4+β+θ=360。