不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法参考.docx

文档整理 | 借鉴参考collection of questions and answers20XX不等式不等式是高考必考的热点内容，考察的广度和深度是其他章节无法比较的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%一方面，考察不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个局部都存在着密切的联系因此，对于不等式的学习，应到达多层面，多角度熟练掌握的程度第一节 根本不等式1.假设a,b∈R,那么a2+b2≥2ab，等号成立的条件：a=b；证明：当a,b∈R时，(a-b)2≥0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件2.根本不等式的变形〔包括2个方面〕①假设a,b≥0的实数，那么a+b≥2ab, 等号成立的条件：a=b；假设a,b∈R,ab>0那么ba+ab≥2, 等号成立的条件：a=b；假设x∈R,x>0那么x+1x≥2, 等号成立的条件：x=1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的a,b不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式②假设a,b∈R,那么a2+b2≥(a+b)22≥2ab;等号成立的条件：a=b 〔注意：不等式的右边是(a+b)2〕例题1.x,y∈0,+∞,且4x+3y=1，求x+y的最小值及xy的最小值。

解：x+y=x+y4x+3y=7+4yx+3xy≥7+24yx×3xy=7+43，∴x+y的最小值为：7+43；求(xy)min有两种方法，其一是配式，1xy=112×4x×3y≤112(4x+3y2)2=148，∴(xy)max=48；另一种方法是，由4x+3y=1→xy=4y+3x≥23x×4y=43xy,∵x,y∈0,+∞→xy≥43，∴(xy)min=48例题2. a1-b2+b1-a2=1,求证：a2+b2=1证明：由根本不等式得：a1-b2≤a2+(1-b2)22=a2+1-b22这里等号成立的条件是，a=1-b2； 同理，b1-a2≤b2+1-a22这里等号成立的条件是，b=1-a2，∴a1-b2+b1-a2≤1 (*)而条件是a1-b2+b1-a2=1,即对于不等式(*)等号成立，即b=1-a2且a=1-b2即a2+b2=1注：此题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖例题3.x,y∈R,满足x+y=1,求(x+1x)2+(y+1y)2的最小值解：(x+1x)2+(y+1y)2=x2+y2+x2+y2x2y2+4=x2+y21+1x2y2+4,这里x2+y2≥(x+y)22=12, xy≤(x+y)24=14→1x2y2≥16∴(x+1x)2+(y+1y)2≥121+16+4=252.注：解答此题的关键是，如何运用好x+y=1，两次使用了根本不等式，但不矛盾。

例题4. 求y=x+3-x的最大值解：函数的定义域为x∈[0,3],可以用其它的方法来解，比方用两边平方转化成二次函数求极值等但由于x与3-x的两式平方和为常数3，故应用根本不等式的变形公式简单些∵(x+3-x)2≤2(x)2+(3-x)2=6∴x+3-x≤6，当且仅当x=3-x→x=32∈[0,3]时成立，故ymax=6例题5. a>b>0,那么a2+16b(a-b)的最小值为〔 〕解：a2+16b(a-b)≥a2+16(b+a-b2)2=a2+64a2≥16,当且仅当a=22,b=2等号成立，a2+16b(a-b)的最小值为16.注：这里要求2元表达式的a2+16b(a-b)的最值，不能直接整体应用根本不等式〔即不能直接整体消去a、b〕而且也没有给出条件等式〔即不可能代入消元〕,因此，对局部b(a-b)用根本不等式的变形公式进展处理例题6.假设二次函数fx=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),那么ca2+4+ac2+4的最小值为〔 〕解：由题意得a>0,Δ=16-4ac=0,即ac=4,c>0, 那么ca2+4+ac2+4=ca2+ac+ac2+ac=a2+c2ac(a+c)≥(a+c)22ac(a+c)=a+c2ac≥1ac=12，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以ca2+4+ac2+4的最小值为12。

注：此题也可用消元法，由Δ=16-4ac=0消去a或c，比较麻烦例题7.a,b,c>0,且a2+2ab+2ac+4bc=9,那么a+b+c的最小值为 3 例题8.a,b,c>0,且a+b+c=1，那么3a+1+3b+1+3c+1的最大值为〔 〕解：(3a+1+3b+1+3c+1)2=6+23a+13b+1+23b+13c+1+23c+13a+1 ≤6+23a+1+3b+1+3c+1=18,当且仅当a=b=c=13等号成立，∴所求的最大值为18例题9.函数fx=( xa-1)2+( bx-1)2的定义域是[a,b],其中a,b∈R+且a

2)设a=1,b=s,x1∈1,s时，由(1)的结论可得：f(x1)≥2( s1-1)2=2( s-1)2 ①,同理f(x2)≥2( 4s-1)2=2( 2s-1)2 ②由①+②得：f(x1)+fx2≥2( s-1)2+2( 2s-1)2=2[ ( s-1)2+( 2s-1)22]2≥4[ s-1+2s-12]2=4[ s+2s-22]2=4( 2-1)2.上面两次用到根本不等式，等号成立的条件都是s=2时取得，∴(2)得证例题10. 两条直线l1：y=m和l2：y=82m+1m>0,l1与函数y=log2x的图象从左至右相交于A,B,l2与函数y=log2x的图象从左至右相交于C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，ba的最小值为〔 〕解：在同一坐标系中作出y=m, y=82m+1m>0,y=log2x图象，令log2x=m,得xA=2-m,xB=2m;令log2x=82m+1得xC=2-82m+1,xD=282m+1,∴a=xA-xC=2-m-2-82m+1b=xD-xB=282m+1-2m,故ba=282m+1+m由82m+1+m=122m+1+162m+1-12≥72,当且仅当2m+1=162m+1，即m=32取等号，故(ba)min=72。

注：此题经过巧妙的〞伪装〞,将根本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现根本不等式模型的构建，对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度例题11. 假设平面向量a,b满足2a-b≤3，那么a•b的最小值是〔 〕解：由2a-b≤3，两边平方，得4a2+b2≤9+4a•b，由根本不等式得：4a2+b2≥4ab(当且仅当2a=b等号成立)设θ为a,b夹角为θ(θ∈[0,π]),那么当θ≠π2时，ab≥±a•b(当且仅当θ=0，π等号成立)，因此9+4a•b≥4a2+b2≥4ab≥±4a•b(这里只能取"-"号)，即a•b≥-98注：此题将根本不等式与向量相结合，通过将向量的模平方，借助根本不等式和斜率数量积的性质，建立关于a•b的不等式此题视角独特，构思精心例题12. 函数fx=acosax+θ(a>0)图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是〔 〕解：如图，设函数y=fx图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B且过A点平行与x轴的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于C,那么AC=T2=πa,BC=2a,故AB2=(2a)2+(πa)2≥4π(当且仅当πa=2a,即a=2π2等号成立)，即AB≥2π，故AB的最小值是：2π。

注：此题将根本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离此题情景新颖，自然贴切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点例题13. 设｛an｝是等比数列，公比q=2，Sn为｛an｝的前n项和，记Tn=17Sn-S2nan+1记Tn0为数列｛Tn｝的最大项，那么n0=( ).解：由题意，Tn=17a11-qn1-q-a1(1-q2n)1-qa1qn=q2n-17qn+161-n,令t=qn>0,那么Tn=t2-17t+161-2t=12-1•-t+16t+17≤92-1当且仅当t=16t，即t=4等号成立故Tn0=92-1=9(2+1)，此时n0=4注：此题将根本不等式嵌入数列解题中，运用数列的根本量及性质将条件转化为关于n的代数式，通过换元后转化为根本不等式模型例题14. 一个四面体的一条长为x，其余所有棱长均为1，那么此四面体体积V的最大值是〔 〕解：由题意得：Vx=112x3-x2,x∈0,3,那么Vx=112x2(3-x2)≤3-x2+x22=18(当且仅当3-x2=x2，即x=62等号成立)，故V的最大值是18。

注：此题把根本不等式与立体几何的相关知识进展交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分表达出数学试题的多变性例题15. 平面直角坐标系xoy中，点A(0，1),B点在直线y=-3上，M点满足MB∥MB，MA•AB=MB•BA,点M的轨迹为切线C,(1) 求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在得P处的切线，求O点到l的距离的最小值解：(1)y=14x2-2过程略2设点Px0,y0为曲线C上一点，∵y'=12x,所以l的斜率为12x0,故l的方程为y-y0=12x0x-x0,即x0x-2y+2y0-x02=0.那么O点到l的距离d=2y0-x02x02+4,又y0=14x02-2,∴d=2y0-x02x02+4=12(x02+4+4x02+4)≥2(当且仅当x0=0等号成立)，∴O点到l的距离的最小值为2.第二节 “对勾〞函数的图象、性质及应用“对勾〞函数y=x+1x与根本不等式有着密切的联系，其图像如右图，y=x与x=0是函数图像的两条渐近线;当x>0时,y=x+1x≥2,当且仅当x=1等号成立此结论可由根本不等式推导，即点A是函数y=x+1x在x>0时的极小值点同时.也是函数增减区间的分点其坐标为1,2; 当x<0时，y=x+1x≤-2,当且仅当x=-1等号成立，即点B是函数y=x+1x在x<0的极大值点(同时,也是函数增减区间的分点)其坐标为(-1,-2)。

以上在不少的例题中已经运用了这个结论事实上，函数y=x+1x还有一个很重要的代数性质在变量代换中经常使用例题1.〔2013年江苏卷13题〕在平面直角坐标系xOy中，设点A(a,a),P是函数y=1x(x>0)图像上的动点，假设点P,A之间的最短距离为22，那么满足条件的实数a的所有值为〔 〕解：点A(a,a)是直线y=x上的动点，点P,A之间的最短距离为22，即以A为圆心，半径22的动圆与函数y=1x(x>0)图像相切时求a的值依题意可画出草图， 点A在直线上运动时，凭直觉认为，动圆都会与函数y=1x(x>0)的图像相切于点C(1,1)，因此不难求出a的两个值为-1或3；而这个答案是错的事实上，当a>0时，两图像的切点位置是与动圆半。