解析法在研究解析几何问题中的运用.docx

解析法在研究解析几何问题中的运用 梁旭摘 要：我们现行高中数学几何教材采用的是欧几里得《几何原本》的内容长期的教学实践表明：初等几何构思艰深，众多师生往往为一道题冥思苦想而不得其解，因此，开辟新的途径，寻求思路清晰、过程简洁的解题方法已是势在必行关键词：解析法，几何问题，数形结合，坐标系：G633.6 ：A：1992-7711（2020）03-064-2解析法又称坐标法，是解析几何中最基本的研究方法，它是在平面直角的基礎上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法应用解析法研究问题，必须建立坐标系，使数和形结合起来常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系等，教师应根据讨论问题的特点和要求，合理选择坐标系坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷所以，教师在选择坐标系时，应当选择那些问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零的坐标系，为此常用以下方法：①将图形一边所在的直线或定直线作x轴，若有直角，则取直角边为坐标轴例1 求证：三角形的三条高交于一点证明时可以以三角形的一边为x轴，该边上的高为y轴建立直角坐标系，分设三个顶点坐标，得出三边所在直线方程，再联立成方程组证得有唯一解即可。

②对称图形，则取对称轴为x轴或y轴例2 在△ABC中，BC=8，∠A=45，固定BC，求顶点A的轨迹方程由平面几何知识可知，到已知线段的视角为定角（非零角及平角）的点的轨迹，是以已知线段为弦的两个弓形弧，它们的内接角都等于给定的已知角（弓形弧的两端点即线段的两端点除外）此题坐标系可以以BC为x轴，线段BC中点O为原点建立，则B、C点的坐标为B（-4，0），C（4，0），则可根据平面几何知识，很快求出点A的轨迹方程为x2+（y-4）2=32（y>0），x2+（y+4）2=32（y<0）此题若不如此建立坐标系，则计算量大，不易得解③可将图形的一个顶点或定点连线的中点作为原点例3 已知圆M和圆N，半径分别为R和r，|MN|=2d>R+r，若动点P到两圆的切线长相等，求P点的轨迹方程分析：可知题设已知两圆圆心距为2d，启示我们以连心线段中心为原点，故可以直线MN为x轴，线段MN的中垂线为y轴建立坐标系，则M，N的坐标为（-d，0）和（d，0），根据切线长相等列方程化简为4dx=R2-r2即x=R2-r24d在研究解析几何问题时，我们知道，曲线的形状、性质不会因坐标系改变而改变，但它的方程却是因坐标系的不同而不同（形式上繁简有别），因此化简整理的运算过程也就有复杂简单之分。

本例中这种取定点连线中点作为坐标原点的设置方法是经常被采用的选定坐标系后，还可以在点的坐标之外，引入新变数——参变数运用参数思想，对讨论的问题先进行分解分析，从一个个有影响的侧面建立等量关系，再综合起来建立参数方程分析：此题是道平面几何题，按习惯思维，用平面几何知识去解决确实是一道较难的问题若用解析法来解决，恰当建立极坐标系，把“形”转化为“数”，则证明就显得简洁多了求一元二次方程的两根之和求解需要说明的是，当给出的问题中诸线段共点时，可以选择公共点为极点，以某一条关键的定向线为极轴，建立极坐标系本题若取AT中点为原点，有向直线TA作为x轴建立直角坐标系，分别求出A、B所在圆与M、N所在抛物线方程，联立求出A、B、M、N的坐标，再利用两点距离公式求各线段的长，则计算繁琐，易出差错在掌握了解析法研究问题的一般原则技巧之后，不妨归纳一下解析法研究问题的一般步骤：（1）选择引入恰当的坐标系，使数和形初步结合，把曲线与方程有条件地统一起来，（2）考虑是否需要引入新的变量——参变量，以便更容易地建立曲线的方程或求解其他问题，（3）考虑是否需要进行坐标变换，使曲线方程化简，或使研究的问题便于归纳，讨论及解决，（4）运用各种代数方法，解决提出的几何问题，并给出适合要求的答案。

综上所述，在用解析法研究问题时，坐标系（直角坐标系、极坐标系）的选择是可变化的，选择的坐标系是可以运动的——平移、旋转或其它类型的运动，点的坐标及曲线的方程依坐标系的不同是可以变化的，根据研究问题的需要，变量的个数是可以增减的引入参数或消去参数：唯一保持不变的是研究对象本身具有的几何性质，解析法的确使运动进入了数学无论是从思想上还是从方法上，解析法都在以常量研究为主的初等数学和以变量研究为主的高等数学之间，架起了一座桥梁作者单位：南京师范大学附属中学行知分校，江苏 南京210000） -全文完-。