《简明线性代数》复习课.ppt

上页下页结束返回首页线 性 代 数 复 习 课 一、内 容 提 要 二、典 型 例 题 >>> 上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 v行列式的性质性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列 式记号的外面.性质1 行列式与它的转置行列式相等.性质4 对换两行, 行列式值反号. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对 应的元素上去, 行列式的值不变.性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零.• 设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | = | A |  | B | . 上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 vLaplace [按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即 • 设 A = (aij)为 n 阶方阵, 则有上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 v伴随阵设 A 为 n 阶方阵, Aij 为(i, j)元的代数余子式, 记称 A 为方阵 A 的[转置]伴随阵. v伴随阵的性质设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随阵, 则有上页下页结束返回首页• 如果 | A |  0, 那么, 称方阵 A 为非奇异矩阵.v逆阵计算公式非奇异矩阵 A 的逆阵为v逆矩阵如果存在矩阵 B, 使 AB = BA = E 那么, 称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵.v定理 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB = E, 则 A, B 可逆, 且有一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v逆矩阵的性质设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v分块对角阵的性质(3) A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,…,s)都可逆, 且有一、内 容 提 要 设 Ai(i=1,…,s)都是方阵, • 设 A, B 都是方阵, 则有上页下页结束返回首页• 矩阵 A 与 B 行等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 P, 使 B = PA. • 矩阵 A 与 B 列等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 Q, 使 B = AQ. 具体地有一、内 容 提 要 v等价矩阵 如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换, 化为矩 阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 A～B.上页下页结束返回首页v行最简形矩阵 v行阶梯形矩阵 一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v矩阵的秩 一、内 容 提 要 如果矩阵 A 的等价标准形为 那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A). 性质1 等价矩阵有相等的秩.性质2 性质4 性质3 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 R(A) = n. 行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质5 上页下页结束返回首页v矩阵的秩 一、内 容 提 要 如果矩阵 A 的等价标准形为 那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A). 性质7 性质8 性质9 若 则 性质6 上页下页结束返回首页• 逆矩阵的初等变换求法v矩阵初等变换的应用• 线性方程组的最简形解法将线性方程组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解 方程组, 解便一目了然.• 矩阵方程 AX = B, XA = B 的初等变换解法一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页(1) 当 R(A, b)>R(A) 时, 方程组无解;(2) 当 R(A, b)=R(A) = n 时, 方程组有唯一解; (3) 当 R(A, b)=R(A)  n 时, 方程组有无穷多解. 设 n 元线性方程组 Ax = b.• n 元方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R(A)  n.• AX = B 有解的充要条件是 R(A) = R(A, B).v线性方程组的可解性定理• 当 A为方阵时, Ax = 0 有非零解的充要条件是 | A| = 0. 一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v齐次通解结构定理设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系为 x1,…, xnr , 其中 r = R( A), 则 Ax = 0 的通解为(k1,…, knr 为任意数) v非齐次通解结构定理(k1,…, knr 为任意数) 设 x = h 是 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的一个 解 (称特解), x1,… , xnr 是导出组 Ax = 0 的一个基础解 系, 则 Ax = b 的通解为一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页一、内 容 提 要 v线性组合设有向量组 及向量 如果存在一组数 使那么, 称向量 b 为向量组 的一个线性组合,称向量 b 可由向量组 并线性表示.• 设 矩阵 则线性方程组 Ax = b有一组解等价于上页下页结束返回首页v线性相关性设有向量组 如果存在一组不全为 0 的数 使那么, 称 线性相关. 否则, 称 线性无关. v基本性质 一、内 容 提 要 (1) 若向量 b 可由向量组 a1,…, am 线性表示, 则向量组 b, a1,…, am 线性相关.(2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关.(3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.上页下页结束返回首页v定理 v线性相关性设有向量组 如果存在一组不全为 0 的数 使那么, 称 线性相关. 否则, 称 线性无关. 一、内 容 提 要 向量组 线性无关的充分必要条件是 • a1,…, am 线性无关, 也即向量方程只有零解.上页下页结束返回首页v向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A). v向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, …, ar 为 A 中一个线 性无关向量组, 那么称 a1,…,ar 为 A 的一个最大无关组. v最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1,…,ar 为 A 的一个最 大无关组的充分必要条件是(2) A 中任一向量可由 a1,…,ar 线性表示.(1) a1,…,ar 线性无关;一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页化矩阵 A 为行最简形 A0, 通过观察 A0, 便知 A 的 列向量组的秩和一个特定的最大无关组, 以及 A 的其 余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内 容 提 要 v秩与最大无关组的一个算法 例 设 的秩为3,一个最大无关组为则且有 • 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.上页下页结束返回首页v向量组的线性表示 若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向 量线性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.一、内 容 提 要 • 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是• 若向量组 B 可由向量组 A 线性表示, 则 R(B)  R(A).v等价向量组 可以相互线性表示的两个向量组, 称等价向量组.• 向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是 上页下页结束返回首页v向量空间设 Rn 的非空集 V 满足条件：那么, 称 V 为一个向量空间. • 当非空集 V 满足条件(1),(2)时, 称 V 对线性运算封闭. (1) 若 aV, bV, 则 a +bV;(2) 若 aV, kR, 则 kaV,• 齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 是一个向量空间. v子空间设有向量空间 V1 及 V2, 若 V1V2, 就称 V1 是 V2 的 子空间. 当 V1V2 时, 称 V1 是 V2 的真子空间.一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v向量空间的基和维数称向量空间 V 的秩为 V 的维数, 记为 dim V. 称向量空间 V 的任一最大无关组为 V 的一个基.v基的性质 设 V 为一个向量空间, 则 V 中向量组 a1,…, ar 为V 的一个基的充分必要条件是(2) V 中任一向量可由 a1,…, ar 线性表示.(1) a1,…, ar 线性无关;• n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系为解空间S 的 一个基, dim S = nR(A).一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v生成空间设有向量组 A: a1,…, am, 记称 L(A) 为由向量组 A 生成的向量空间, 简称生成空间. 称 a1,…, am 为生成元.v向量组线性表示的等价说法设有向量组 A: a1,…, as, B: b1,…, bt . 则有 (1) L(A) 为 L(B) 的子空间的充分必要条件是 A 组可由 B 组线性表示； (2) L(A) = L(B) 的充分必要条件是 A 组与 B 组等价.一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v向量在基下的坐标设 V 为一个 r 维向量空间, 则 V 中任意 r 个线性无 关向量 a1,…, ar 为 V 的一个基, 且有V 中任一向量 a 可唯一地表示为称 (k1,…, kr ) 为 a 在基 a1,…, ar 下的坐标. 一、内 容 提 要 上页下页结束返回首页v过度矩阵一、内 容 提 要 设 a1,…, ar 及 b1,…, br 是向量空间 V 的两个基 ,称此关系式为基变换公式. • 称矩阵 P 为从基 a1,…, ar 到基 b1,…, br 的过渡矩阵. • 过渡矩阵是可逆矩阵.则存在 r 阶矩阵 P, 使上页下页结束返回首页v向量的内积一、内 容 提 要 设有 n 维向量 a = (a1, …, an), b = (b1, …, bn),称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积.记v向量的范数称为向量 a 的范数(或长度), 记为 || a ||.• 若 [a, b] = 0, 则称向量 a 与 b 正交.v向量的夹角 非零向量 a 与 b 的夹角为上页下页结束返回首页v规范正交基一、内 容 提 要 r 维向量空间 V 中, 任一正交单位向量组 e1,…, er , 称为 V 的一个规范正交基.v正交矩阵如果 PTP = E(P 1 = PT ), 则称方阵 P 为正交矩阵.• P 为 n 阶正交阵的充分必要条件是 P 的列(行)向量组 为 Rn 的一个规范正交基.v正交变换 若 P 为正交阵, 则称线性变换 y = Px 为正交变换. • 正交变换保持向量的内积不变.上页下页结束返回首页v方阵的特征值一、内 容 提 要 • 称 n 次多项式 |lE  A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE  A|=0 的根为方阵 A 的特征值. • 设 l1,…, ln 为 A 的所有特征值, 则有v特征值的性质(2) (1) A 的迹, 记为tr(A).• 设 f 是一个多项式, 若 l 为方阵 A 的一个特征值, 则 f (l) 为 f (A) 的一个特征值.上页下页结束返回首页v方阵的特征向量一、内 容 提 要 设 l 为方阵 A 的特征值, 称方程组 (lE  A) x = 0 的任一非零解为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量. • 对应于 n 阶矩阵 A 的特征值 l 有 nR(lEA) 个线性 无关的特征向量, v定理 设 l1,…, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值,A1,…, Am 分别为属于 l1,…,lm 的线性无关特征向量组, 则由 A1,…, Am 的并集构成的向量组线性无关.称属于 l 的线性无关特征向量组. v定理 设 l1,…, lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值, p1, …, pm 为对应的特征向量, 则 p1,…, pm 线。