北师大版初中数学九下知识点汇总——分章节整理.pdf

图 1 【北师大版】数学知识点汇总九年级 (下册) 第一章直角三角形边的关系一 . 正切：定义：在 RtABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，即的邻边的对边AAAtan; tanA 是一个完整的符号，它表示A 的正切，记号里习惯省去角的符号“ ” ；tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A 的对边与邻边的比；tanA 不表示 “tan”乘以“A”；初中阶段，我们只学习直角三角形中，A 是锐角的正切；tanA 的值越大，梯子越陡， A 越大； A 越大，梯子越陡， tanA 的值越大二. 正弦：定义：在 RtABC 中，锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦，记作 sinA，即斜边的对边AAsin; 三. 余弦：定义：在 RtABC 中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦，记作 cosA， 即斜边的邻边AAcos; 余切：定义：在 RtABC 中，锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cotA，即的对边的邻边AAAcot; 一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若A 为锐角，则)90cos(sinAA；)90sin(cosAA)90cot(tanAA；)90tan(cotAA当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0 90间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小 )而增大 (或减小 )；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小 )而减小 (或增大 )2)0sin1，0cos 1同角的三角函数间的关系：倒数关系： tgctg=1在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形在ABC 中， C 为直角， A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有(1)三边之间的关系： a2+b2=c2；(2)两锐角的关系： AB=90；(3)边与角之间的关系：0o30 o45 o60 o90 osin0 2122231 cos1 2322210 tan0 331 3cot31 330 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 图 3 图 4 ;cot,tan,cos,sinabAbaAcbAcaA;cot,tan,cos,sinbaBabBcaBcbB(4)面积公式 :chcab2121S(hc 为 C 边上的高 ); (5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR21解直角三角形的几种基本类型列表如下：解直角三角形的几种基本类型列表如下： 如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。

用字母 i 表示，即Alhitan从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角如图 3，OA、OB、OC 的方位角分别为 45、135、225指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角如图 4，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是；北偏东30，南偏东 45(东南方向 )、南偏西为 60，北偏西 60第二章二次函数二次函数的概念：形如)0(2，aa、 b、cbxaxy是常数的函数，叫做x 的二次函数自变量的取值范围是全体实数)0(2aaxy是二次函数的特例，此时常数b=c=0. 在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围二次函数yax2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述函数的定义域是全体实数；抛物线的顶点在 (0，0)，对称轴是 y 轴(或称直线 x0)当 a0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展当a0 时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展图 2 h i=h:l l A B C 精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 函数的增减性：A、当 a0 时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当 a0 时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。

最大值或最小值：当a0，且 x0 时函数有最小值，最小值是0；当 a0，且 x0 时函数有最大值，最大值是0二次函数caxy2的图象是一条顶点在y 轴上且与 y 轴对称的抛物线二次函数cbxaxy2的图象是以abx2为对称轴，顶点在（ab2，abac442）的抛物线开口方向和大小由a来决定）|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越慢二次函数caxy2的图象中， a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低二次函数cbxaxy2的图象与 yax2的图象的关系：cbxaxy2的图象可以由 yax2的图象平移得到，其步骤如下：将cbxaxy2配方成khxay2)(的形式；（其中h=ab2，k=abac442）；把抛物线2axy向右（ h0）或向左（ h0）或向下（ k0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而增大若 a0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而减小最值：若 a0，则当 x=ab2时，abacy442最小；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点；acb42=0 抛物线与 x 轴有 1 个交点；acb420 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）；当acb420 时，设抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，则这两个点之间的距离：2122121224)()(|1xxxxxxxxAB化简后即为：)04(|4|22acbaacbAB - 这就是抛物线与x 轴的两交点之间的距离公式。

第三章圆一. 车轮为什么做成圆形1. 圆的定义：描述性定义： 在一个平面内， 线段 OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周， 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆； 固定的端点 O 叫做圆心； 线段 OA 叫做半径； 以点 O 为圆心的圆，记作 O，读作“圆 O”集合性定义： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆， 方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等二. 圆的对称性 : 1. 与圆相关的概念：弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 直径：经过圆心的弦叫做直径。

弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD 为端点的弧记为“” ，读作“圆弧 CD”或“弧 CD” 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示) 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距. 2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等推论: 在同圆或等圆中 ,如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三. 圆周角和圆心角的关系 : 1. 1的弧的概念 : 把顶点在圆心的周角等分成360份时, 每一份的角都是 1的圆心角 , 相应的整个圆也被等分成 360份, 每一份同样的弧叫1弧. 2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等 .即不能写成 AOB= ,这是错误的 . 3. 圆周角的定义 : 顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角 ,叫做圆周角 . 4. 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件 : 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径 ,圆心决定圆的位置 ,半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个圆 ,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆 . 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 1. 直线和圆相交、相切相离的定义: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线 . (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线 ,惟一的公共点做切点 . (3)相离: 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为d；dr 直线 L 和 O 相交 . d=r 直线 L 和 O 相切 . dr 直线 L 和 O 相离 . 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直。