《新编高等数学》教学教案10线性代数.doc

教 案 首 页课 程高等数学任课教师授课序数授课班级授课时间授课时数授课地点教室累计课时课 题10.1 行列式授课方式讲 授多媒体操作演示学生操作分组讨论实作演练教学目标能力目标会对行列式进行求解知识目标掌握二阶、三阶、n阶行列式的概念及求解方法素质目标培养学生分析问题、解决问题的能力重点难点与解决方法N阶行列式克莱姆法则参考教材《新编高等数学》教学准备教具、设备课件课后作业或拓展练习习题10.1巩固新课要点单元小结与改进措施教研室主任审阅任课教师黄 涛 年 月 日 年 月 日教 学 设 计教学环节、教学内容与教学过程设计教学方法时间分配§10.1 行列式1.二阶和三阶行列式在求解二元线性方程组 （10-1）时，将和的四个系数组成的算式简记成即有 （10-2）这个符号称为二阶行列式[式（10-2）的右端称为二阶行列式的展开式，可由对角线法则求得]，其中的数称为该行列式的元素，每个横排称为行列式的行，每个竖排称为行列式的列.此时，的第一个下标i表示它位于自上而下的第i行，第二个下标j表示它位于从左到右的第j列，即时位于行列式第i行和第j列相交处的一个元素.对于线性方程组（10-1），若分别记 （10-3）其中，式（10-2）中等号右边的式子称为二阶行列式Δ的展开式.则当时，易验证它的解为 （10-4）由此可见，二阶行列式就是对二元一次方程组中未知量的系数和常数项这些元素之间的一种规定所得到的一个数值.类似地，对于三元一次方程组 （10-5）为了简单地表达它的解，我们引进三阶行列式的概念，三阶行列式的展开式规定为：三阶行列式也是一个数值，它可以通过转化为二阶行列式的计算而得到.三阶行列式可以用来解三元一次方程组，若分别记三阶行列式，，，如果方正组（10-4）中的系数行列式，那么方程组有唯一解，其解可以简洁地表示为2.n阶行列式定义10.1 将个数排列成n行n列，并在左、右两边各加一竖线的算式，即称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所得到的数.当时当时其中数称为第i行第j列的元素，称为的代数余子式；为由划去第i行和第j列后余下的元素构成的阶行列式称为的余子式.3.行列式的性质定义10.2 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记作.即如果则性质10.1 行列式与它的转置行列式相等.性质10.2 互换行列式的任意两行（或列），则行列式变号.推论10.1 若行列式两行（或列）的元素对应相等，则行列式的值为零.性质10.3 行列式某行（或列）元素都乘以数k等于用k乘以行列式.推论10.2 行列式某一行（或列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论10.3 若行列式的某两行（或列）元素对应成比例，则行列式的值为零.性质10.4 如果行列式中某一行（或列）的所有元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，而且这两个行列式除了这一行（或列）外，其余的元素与原来行列式的对应元素相同，即性质10.5 将行列式某一行（或列）的各元素都乘以同一常数后，再加到另一航（或列）的对应元素上，则行列式的值不变.性质10.6 n阶行列式等于任意一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和.4.克莱姆法则定理10.1（克莱姆法则） 若含有n个未知数n个方程的非齐次线性方程组的系数行列式，则方程组有唯一的解其中是将系数行列式D中的第j列元素对应换成方程组的常数项得到的行列式.定理10.2 如果齐次线性方程组 （10-6）的系数行列式那么线性方程组（10-6）只有零解.定理10.3 如果非齐次线性方程组无解或有多个解，则其系数行列式D为零.推论10.4 如果齐次线性方程组（10-6）有非零解，则它的系数行列式为零.教 案 首 页课 程高等数学任课教师授课序数授课班级授课时间授课时数授课地点教室累计课时课 题10.2 矩阵的概念及运算授课方式讲 授多媒体操作演示学生操作分组讨论实作演练教学目标能力目标能对矩阵进行运算知识目标了解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法素质目标培养学生分析问题、解决问题的能力重点难点与解决方法矩阵的运算参考教材《新编高等数学》教学准备教具、设备课件课后作业或拓展练习习题10.2巩固新课要点单元小结与改进措施教研室主任审阅任课教师黄 涛 年 月 日 年 月 日教 学 设 计教学环节、教学内容与教学过程设计教学方法时间分配10.2 矩阵的概念及运算1.矩阵的基本概念定义10.3 由个数排成的m行n列的矩形数表（用方括号或圆括号表示），即称为m行n列矩阵，简称矩阵.其中，横排称行，纵排称列，构成矩阵的每一个数称为矩阵的元素，是位于矩阵第i行第j列的元素.通常用大写字母A，B，…表示矩阵，记作或，也可简记为A或.元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵.当时，矩阵A称为n阶方阵，记作或，即其中，称为主对角元.当时，只有一行，称为行矩阵，记作.当时，只有一列，称为列矩阵，记作.当矩阵的所有元素都是零时，称为零矩阵，记作O.若两个矩阵的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.定义10.4 若矩阵与满足以下条件：（1），.（2）.则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.2.矩阵的运算定义10.5 将两个矩阵和的对应元素相加，得到矩阵则称矩阵C为矩阵A与B的和，记为C=A+B.求矩阵和的运算称为矩阵的加法.注意：只有两个同型矩阵才能进行矩阵的加法运算.定义10.6 将矩阵的所有元素都改变符号，得到的矩阵称为矩阵A的复矩阵，记作-A，即.由此可定义矩阵的减法为即若，，则矩阵的加法满足下列运算律：（1）交换律：.（2）结合律：.（3）.（4）.定义10.7 设k是一个常数，，用数k乘矩阵A的所有原色得到的矩阵称为数k与矩阵A的乘积，记作kA或Ak.求数与矩阵乘积的运算叫作矩阵的数量乘法.矩阵的数量乘法满足下列运算律：（1）分配律：，；（2）结合律：.其中，l，k为常数；A，B为矩阵.定义10.8 设，，则矩阵称为矩阵A左乘B的乘积，其中，记作.该定义说明，只有当第一个矩阵A（左矩阵）的列数等于第二个矩阵B（右矩阵）的行数时，乘积AB才有意义；A与B的乘积C中第i行第j列的元素等于矩阵A中第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和；并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数.矩阵乘法满足下列运算律：（1）结合律：.（2）分配律：，.（3）.定义10.9 把矩阵A的行与列依次互换得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或，即若，则.矩阵的转置运算有如下运算律：（1）.（2）.（3）.（4）.教 案 首 页课 程高等数学任课教师授课序数授课班级授课时间授课时数授课地点教室累计课时课 题10.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩授课方式讲 授多媒体操作演示学生操作分组讨论实作演练教学目标能力目标能对矩阵进行初等行变换，并能够求矩阵的秩知识目标理解矩阵的初等行变换掌握矩阵的秩的求解方法素质目标培养学生分析问题、解决问题的能力重点难点与解决方法矩阵的秩参考教材《新编高等数学》教学准备教具、设备课件课后作业或拓展练习习题10.3巩固新课要点单元小结与改进措施教研室主任审阅任课教师黄 涛 年 月 日 年 月 日教 学 设 计教学环节、教学内容与教学过程设计教学方法时间分配10.3 幂级数1.矩阵的初等行变换定义10.10 对矩阵的行（列）施行下列3种变换，称为矩阵的初等行（列）变换.（1）交换矩阵的第i,j两行（列），记作；（2）用数乘矩阵的第i行（列），记作；（3）用数k乘矩阵的第j行（列）加到第i行（列）上，记作.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义10.11 若矩阵A经过有限次初等行变换化为矩阵B，则称矩阵A等价于矩阵B，记作.定义10.12 若一个矩阵中每个非零行的首元素（第一个非零元素）出现在上一行非零首元素右边，同时没有一个非零行出现在零行之下，则称这个矩阵为行阶梯形矩阵.定义10.13 每一个非零行的非零首元素为1，且包含非零首元素的列中其他元素均未零的行阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵.定理10.4 任何非零矩阵都可通过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵.定义10.14 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵（或初等方阵）.定理10.5 对一个矩阵A做一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘一个相应的m（n）阶初等矩阵，即若，则（1）交换A的第i,j两行相当于，交换A的第i,j两列相当于；（2）用数k乘A的第i行相当于，用数k乘A的第i列相当于；（3）用数k乘A的第j行加到第i行上相当于，用数k乘A的第i列加到第j列上相当于.定义10.15 设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方阵C，使得CA=AC=E，则称矩阵A是可逆矩。