数学建模减肥计划.doc

减肥筹划——节食与运动摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显有关的危险因素之一但是实际状况确是违禁广告屡禁不止之因此导致这种状况的因素诸多，但是有一种重要因素就是科学素质低，不懂得应当从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和结识问题数学模型的长处是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥核心词：减肥 饮食 合理运动一、问题重述联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，不小于25为超重，超过30则为肥胖据悉，国内有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29在国人初步过上小康生活后来，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台可是大量事实阐明，多数减肥食品达不到减肥的目的，或者虽然能减肥一时，也难以维持下去许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和合适的运动，才干在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显有关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化诸多人在心理上胆怯自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们常常听到的话题，更有人花诸多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就导致了多种减肥药、器械和治疗措施的巨大的市场多种假药或对身体有害的药物和治疗措施、夸张疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓导致了不应有的伤害状况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出告知，命令所有电视台自8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目但是实际状况确是违禁广告屡禁不止之因此导致这种状况的因素诸多，但是有一种重要因素就是科学素质低，不懂得应当从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和结识问题二、模型分析一般，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化人们通过饮食吸取热量，转化为脂肪等，导致体重增长；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少只要作合适的简化假设就可得到体重变化的关系减肥筹划应以不伤害身体为前提，这可以用吸取热量不要过少、减少体重不要过快来体现固然，增长运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑每日膳食中，营养的供应是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量原则，营养素的规定量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量，如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将使身体产生不利的影响。

每天膳食提供的热量不少于5000—7500J这是维持正常命活动的至少热量) 一般，制定减肥筹划以周为时间单位比较以便，因此这里用离散时间模型——差分方程模型来谈论三、模型假设根据上述分析，参照有关生理数据，作出如下简化假设：1.体重增长正比于吸取的热量，平均每8000kcal增长体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kj）；2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相称于体重70kg的人每天消耗kcal~3200kcal；3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4.为了安全与健康，每周体重减少不适宜超过1.5kg，每周吸取热量不要不不小于10000kcal符号阐明：ω（k）第k周末的体重c（k）第k周吸取的热量α热量转换系数β代谢消耗系数c每周吸取的热量cmin吸取热量的下限γ运动热消耗t运动时间四、基本模型记第k周末体重为ω（k），第k周吸取热量为c（k），热量转换系数α=1/8000（kg/kcal），代谢消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动状况下体重变化的基本方程为ω(k+1)= ω(k)+ αc(k+1)－βω(k),k=0，1，2，… （1）增长运动时只需将β改为β+β1，β1由运动的形式和时间决定。

五、减肥筹划的提出某甲身高1.7m，体重100kg，BMI高达34.6自述目前每周吸取0kcal热量，体重长期不变试为她按照如下方式制定减肥筹划，使其体重减至75kg并维持下去：1）在基本上不运动的状况下安排一种两阶段筹划，第一阶段：每周减肥1kg，每周吸取热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸取热量保持下限，减肥达到目的2）若要加快进程，第二阶段增长运动，重新安排第二阶段筹划3）给出达到目的后维持体重的方案六、减肥筹划的制定1）一方面应拟定某甲的代谢消耗系数β根据她每周吸取c=0kcal热量，体重ω=100kg不变，由（1）式得ω=ω+αc－βω， β=αc/ω=0/8000/100=0.025相称每周每公斤体重消耗热量0/100=200kcal从假设2可以懂得，某甲属于代谢消耗相称弱的人，她又吃得那么多，难怪如此之胖●第一阶段规定体重每周减少b=1kg，吸取热量减至下限cmin=10000kcal，即ω(k)－ω(k+1)=b，ω(k)= ω(0)－bk由基本模型（1）式可得c(k+1)= [ βω(k)－b]= ω(0)－ (1+βk)将α，β，b的数值代入，并考虑下限cmin，有c(k+1)=1－200kcmin=10000得k10，即第一阶段共10周，按照c(k+1)=1－200k，k=0，1，…，9 （2）吸取热量，可使体重每周减少1kg，至10周末达到90kg。

●第二阶段规定每周吸取热量保持下限cmin，由基本模型（1）式可得ω(k+1)=(1－β) ω(k)+ αcmin （3）为了得到体重减至75kg所需的周数，将（3）式递推可得ω(k+n)=(1－β)nω(k)+ αcmin[1+(1－β) +…+(1－β)n-1]= (1－β)n[ω(k)－αcmin/β]+ αcmin/β已知ω(k)=90，规定ω(k+n)=75，再以α，β，cmin的数值代入，（4）式给出75=0.975n(90－50)+50 （5）得到n=19，即每周吸取热量保持下限10000kcal，再有19周体重可减至75kg●配餐方案：常用食物热量：食物数量热量（kcal）米饭1碗（135g）200面条1碗（135g）280煎蛋1只136大饼鸡蛋1个165馒头1个280小米粥100g46豆腐100g57青椒土豆丝100g72草鱼100g113西红柿鸡蛋汤100g14豆腐脑100g47烤馍片100g221炸鸡腿100g261什锦炒饭1份800苹果1个55梨1个45以便面1份470花卷100g217猪肉水饺一种40烧饼100g326水煮土豆100g67土豆粉100g337素什锦100g173韭菜包子100g199煎饼100g304配餐方案：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日早餐小米粥、大饼鸡蛋豆腐脑、烤馍片西红柿鸡蛋汤、馒头以便面汤、花卷小米粥、烧饼豆腐脑、烤馍片西红柿鸡蛋汤、烤馍片午餐米饭、豆腐、煎蛋、草鱼西红柿刀削面、苹果米饭、炸鸡腿、梨猪肉水饺、苹果米饭、水煮土豆、豆腐西红柿刀削面、炸鸡腿米饭、草鱼、煎蛋、苹果晚餐西红柿鸡蛋汤、烤馍片小米粥、馒头小米粥、什锦炒饭豆腐脑、大饼鸡蛋、馒头西红柿鸡蛋汤、烤馍片小米粥、素什锦、馒头小米粥、韭菜包子、煎饼2）为加快进程，第二阶段增长运动。

通过调查资料得到如下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：运动跑步跳舞乒乓自行车（中速）游泳（50m/min）热量消耗（kcal）7.03.04.42.57.9记表中热量消耗γ，每周运动时间t，为运用基本模型（1）式，只需将β改为β+αγt，即ω(k+1)= ω(k)+ αc(k+1)－(β+αγt) ω(k) （6）试取αγt=0.003，即γt=24，则（4）式中的β=0.025应改成β+αγt=0.028，（5）式为75=0.0972n(90－44.6)+44.6 （7）得到n=14，即若增长γt=24的运动，就可将第二阶段的时间缩短为14周3）最简朴的维持体重75kg的方案，是谋求每周吸取热量保持某常数c，使ω(k)不变由（6）式得ω=ω+αc－(β+αγt) ωc=(β+αγt) ω/α （8）若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动（内容同上），则c=16800kcal七、评注人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化这个模型虽然只考虑了一种非常简朴的状况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚至作为一项事业）的人来说也不无参照价值体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是代谢消耗系数β，不仅因人而异，并且虽然同一种人在不同环境下也会有所变化。

从上面的计算中我们看到，当β由0.025增长到0.028时（变化约12%），减肥所需时间就从19周减少到14周（变化约25%），因此应用这个模型时要对β作仔细的核对参照文献：[1]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版）[2]卢向南、李俊杰、寿涌毅，应用运筹学[3]百度搜索，热量表。