高中数学专题2.12 导数的切线方程解析版.docx

第12讲 导数的切线方程【套路秘籍】1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法 （1） 公式：（2） 当直线l1、l2的斜率都存在时：，3. 切线方程的求法（1） 求出直线的斜率（2） 求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式写出直线方程套路修炼】考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为 2）设函数，若，则______________．【答案】（1）.（2）e【解析】（1）∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.（3） 由题意得，又，解得．【套路总结】1.已知切点求切线的斜率解题思路（1）求导：求出导函数（2）将切点的横坐标代入导函数计算即可2.求切点的坐标的解题思路(1)设出切点坐标(2)利用导数或斜率公式求出斜率(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标【举一反三】1.已知在曲线上过点的切线为．（1）若切线平行于直线，求点的坐标；（2）若切线垂直于直线，求点的坐标；（3）若切线的倾斜角为，求点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x0=4,x0=2,代入曲线y0=4,切点P（2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于-1.（3）因为切线的倾斜角为，所以其斜率为．即，得，，故．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f(x)＝xln x，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.【答案】x－y－1＝0【套路总结】已知切点(x0,y0)求切线方程1. 表述：在某点处的切线方程，该点为切点。

2. 求切线方程的基本思路（1） 求导：利用求导公式进行求导f’(x)（2） 求k:将切点的横坐标x0代入f’(x0)=k（3） 求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标记得切点即在切线方程上也在原函数上举一反三】1.函数f(x)＝excos x在点(0，f(0))处的切线方程为 答案】x－y＋1＝0【解析】∵f′(x)＝excos x＋ex(－sin x)＝ex(cos x－sin x)，∴f′(0)＝e0(cos 0－sin 0)＝1．又∵f(0)＝1，∴f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0．2.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为_ __.【答案】5x＋y＋2＝0【解析】由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.考向三 过某点处求切线方程【例3】已知函数，则过（1,1）的切线方程为__________．【答案】【解析】 由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为，即， 当点不是切点时，设切点，则，即， 解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.【套路总结】未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上---将点代入曲线①曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。

②曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1,y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路①设点：设切点(x0，y0)②求x0：利用斜率的关系求切点横坐标k＝f′(x0)=y1−y0y1−x0和y0=f(x0)（即将切点代入原函数）联立解x0③求k:利用k＝f′(x0)④求线：利用点斜式y-y0=f’(x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f’(x0)(x-x1)【举一反三】1． 已知曲线f(x)=1x，则过点(−1,3)，且与曲线y=f(x)相切的直线方程为 答案】y=−x+2或y=−9x−6【解析】设切点为(x0,y0),切线斜率k=f'(x0)=−1x02 ，则切线方程是y−y0=−1x02(x−x0)，又过点(−1,3)，所以3−y0=−1x02(−1−x0)， ①又y0=1x0，②由①②解得，x0=1y0=1 或x0=−13y0=−3 ，代入切线方程化简可得：切线方程为x+y−2=0 或9x+y+6=0.2．过点p(−4,0)作曲线y=xex的切线，则切线方程为_______________________.【答案】x+e2y+4=0【解析】点p(−4,0)不为切点，可设出切点Mm,n，则n=mem，①又y'=ex+xex，则切线斜率为k=1+mem=k=nm+4，②由①②得，m=−2,n=−2e−2,k=−e−2，故切线方程为y−0=−e−2x+4，即x+e2y+4=0，故答案为x+e2y+4=0.3．过坐标原点(0, 0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为________.【答案】y=ex【解析】因为y=ex， 所以y'=ex,设切点坐标为m,em，则切线斜率为em，切线方程为y−em=emx−m，把原点坐标代入切线方程可得m=1，所以过坐标原点(0, 0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为y=ex,故答案为y=ex.考向四 求参数【例4】已知函数f(x)＝bx＋ln x，其中b∈R，若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为 ．【答案】　【解析】　设切点坐标为(x0，bx0＋ln x0)，因为f′(x)＝b＋，所以k＝b＋，则切线方程为y－(bx0＋ln x0)＝(x－x0)．因为切线过坐标原点，所以－(bx0＋ln x0)＝(0－x0)，即ln x0＝1，所以x0＝e，所以k－b＝＝.【举一反三】1.已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝ .【答案】－2【解析】∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，∴m＝－2.2.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为 。

答案】2【解析】设切点为(x0，y0)，y′＝，所以有解得3.设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____________.【答案】1【解析】y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.4，已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是 ．【答案】x－y－2＝0【解析】由题图可知，f′(2)＝1，过P(2,0)，∴切线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.【套路运用】1.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝_______.【答案】【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是 ．【答案】　y＝0或4x＋y＋4＝0【解析】设切点坐标为(x0，x)，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__ 【答案】y＝－2x－1【解析】令x>0，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，又f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝ln x－3x(x>0)，则f′(x)＝－3(x>0)，∴f′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1．4.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝____.【答案】1－ln2【解析】直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2，y＝ln (x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝ln x＋2得y′＝，由y＝ln (x＋1)得y′＝，∴k＝＝，∴x1＝，x2＝－1，∴y1＝－ln k＋2，y2＝－ln k，即A，B，∵A，B在直线y＝kx＋b上，∴⇒5．已知函数fx=lnx−x2，则fx在x=1处的切线方程为_________【答案】x+y=0.【解析】fx=lnx−x2 ，f'(x)=1x−2x⇒f'(1)=−1,而f(1)=−1,所以切线方程为y−(−1)=−(x−1)⇒y=−x⇒x+y=0.6．已知某曲线的方程为y=x2+2，则过点B(2,−3)且与该曲线相切的直线方程为______．【答案】2x+y−1=0或10x−y−23=0【解析】设直线与曲线切于点（x0，y0）（x0≠2），则k=y0+3x0−2，∵y0=x02+2，且∵k=y′|x=x0=2x0，∴y0+3x0−2=2x0，∴x02﹣4x0﹣5=0，∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或10，故直线l的方程2x+y−1=0或10x−y−23=0.故答案为：2x+y−1=0或10x−y−23=0．7．已知a∈R，函数fx=a⋅ex−xlnx的图象在点1,f1处的切线为l，则l在y轴上的截距为______.【答案】1【解析】因为函数f(x)=aex−xlnx，所以 f'(x)=aex−lnx−1，则切线的斜率为k=f'1=ae−1，因为切点坐标1,ae，所以切线方程l为y−ae=ae−1x−1，令x=0，可得l在y轴上的截距为ae+ae−1−1=1，故答案为1.8．已知恰有两条不同的直线与曲线y=ex−2和x2=2py都相切，则实数p的取值范围是__________．【答案】0,2【解析】设曲线y=ex−2的切点为（x1，ex1−2），x2=2py的切点坐标为（x2，x222p），y'=k1=ex1−2 ,y'=2x22p=x2p, ∴ex1−2=x2p①切线方程为y-ex1−2=ex1−2x−x1,且过点（x2，x222p），故x222p-ex1−2=ex1−2x2−x1②由①②得x22+1=x1,故1p=ex22−1x2有两解，由①知x2p>0，若x2<0,p<0不合题意；所以必有x2>0,p>0,即1p=ex22−1x2在0，+∞有两解，令f(x)=ex2−1x,f'x=ex2−。