湖北省长阳一中高三上学期期末考试数学理试题.doc

2016届湖北省长阳一中高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．在复平面上，复数对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．“”是“”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（ ）A．1 B． C．1或 D．或4．在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是（ ） A．3 B． C． D．5．若的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为（ ）A．84 B．-252 C．252 D．-84S6．已知，且，则的最大值是（ ）A．3 B． C．4 D．7．给出30个数：1，2，4，7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比 第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…… 以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A． B．C． D．8．设，满足约束条件则的取值范围是（ ）A． B． C． D． 9．如图，在等腰直角三角形中，，为上靠近点的四等分点，过作的垂线，为垂线上任一点，则等于（ ）A． B． C． D．10．已知集合，，定义映射，则从中任取一个映射满足由点，，构成且的概率为（ ）A． B． C． D．11．已知，分别是双曲线的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点，使得(其中为坐标原点)，且， 则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D． 12．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”。

若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡上对应位置上. 由重庆名13. 在平面直角坐标系中，已知函数的图像过定点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为 .14．设函数在其图像上任意一点处的切线方程为，且，则不等式的解集为 . 15．某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球表面积 .16．设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围 . 三、解答题：本大题共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 由重庆名校资17．设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求证.18．前不久，社科院发布了2015年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望.19．如图，和所在平面互相垂直，且，，,分别为,的中点．(1)求证：EFBC；(2)求二面角的正弦值．20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个焦点恰好与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，过点作椭圆的两条动弦，若直线斜率之积为，直线是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.21．已知函数在点处的切线与轴平行．(1)求实数的值及的极值．(2)是否存在区间，使函数在此区间上存在极值点和零点?若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)如果对任意的，，有，求实数的取值范围．※考生注意：请考生在第22/23/24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做题时，用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲.如图，在正中，点分别在边上，且，相交于点.求证：（1）四点共圆；（2）.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.已知直线（为参数），曲线（为参数）.（1）设与相交于两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.期末考试高三数学（理）答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）题号12345678 9101112答案DACCACDDACDD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填写在答题卡上对应位置上. 由13. 14． 15． 16． 三、解答题：本大题共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 由17．解：（1），令，得……（2分） 当时，取得极小值……（4分） 所以……（6分） （2） ……（8分） ……（12分）18．解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ； ……………………3分（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 ； ……………………7分（3）解法一：的可能取值为0，1，2，3. ；；；. ……………………10分的分布列为： 所以. ……………………12分解法二：的可能取值为0，1，2，3. ……………………8分则， …………………………9分， ……………………10分所以=． ……………………12分 19． 20．解：（1） …………………………4分（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，设，设，则，，不合题意.………………6分故直线的斜率存在.设直线的方程为：，()，并代入椭圆方程，得： ①…………………………7分由得 ②设，则是方程①的两根，由韦达定理，………………………………8分由得：，…………………………10分即，整理得，又因为，所以，此时直线的方程为.所以直线恒过一定点 ……………12分21．22.证明：（1）在中，由，知：， ……… 2分 ∴即.所以四点共圆；……5分（2）如图，连接.在中，，由正弦定理知.…8分由四点共圆知：，所以.…10分23.解（1）得普通方程为，的普通方程为.联立方程组 解得与的交点为，则.（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离是，由此当时，取得最小值，且最小值为.。