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第4章随机变量数字特征习题及答案 第4章 随机变量的数字特征一、填空题1、设X为北方人的身高，Y为南方人的身高，那么“北方人比南方人高”相当于 E(X)?E(Y)2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，那么今年天津的气温改变比北京的大，相当于D(X)?D(Y) .3、确定随机变量X听从二项分布，且E(X)?2.4,D(X)?1.44，那么二项分布的参数n= 6 , p= 0.4 .4、确定X听从?(x)?5、设X的分布律为 X P ?1 1?e?x?2x?12，那么. E(X)= 1 ,D(X)= 1/2 . 0 141 122 1818 那么E(2X?1)?9/4 . 6、设X,Y相互独立，那么协方差cov(X,Y)? 0 . 这时，X,Y之间的相关系数?XY? 0 . 7、假设?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，那么|?XY|?1的充要条件是P?Y?aX?b??1. 8、?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，当?XY?0时，X与Y 不相关 ，当|?XY|?1时， X与Y 几乎线性相关 .9、假设D(X)?8,D(Y)?4，且X,Y相互独立，那么D(2X?Y)? 36 .210、假设a,b为常数，那么D(aX?b)?aD(X).11、假设X,Y相互独立，E(X)?0,E(Y)?2，那么E(XY)? 0 . 12、假设随机变量X听从[0,2?]上的匀称分布，那么E(X)? π .·31· 13、假设D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，那么cov(X,Y)? 12 ，D(X?Y)? 85 ， D(X?Y)? 37 . 14、确定E(X)?3，D(X)?5，那么E(X?2)2? 30 . ?e?x15、假设随机变量X的概率密度为?(x)???0x?0x?0，那么E(2X)? 2 ， E(e?2X)?1/3 . 二、计算题1、五个零件中有1个次品，进展不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。

设X 表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？ 解: X的分布律为:1 2 3 4 5 X pk 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 E(X)? 答：略 2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为p，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射] 击几次？ 解: 设X为射击次数，那么X的分布律为:X 15(1+2+3+4+5)=3. 1 p 2 p(1?p) 3 (1?p) 2pk ? E(X)?p?2p(1?p)?3(1?p)?p?3p?3 答：略 ?2x3、设X的密度函数为f(x)???00?x?1其它22，求E(X)、D(X)·32· 解: E(X)?2?????xf(x)dx???2?102xdx?223 1 E(X)????xf(x)dx?2?102xdx?3 故 D(X)?E(X)?(E(X))4、(拉普拉斯分布)X的密度函数为f(x)?解: E(X)?E(X)?2221221 ??()?231812e?|x|求. E(X)、D(X) (???x???)，????? x122e?xdx?0?x??2?x??2?x????? x212??0edx????0xedx?????00?xxde ??xe ??2e?x?2?0xe?xdx??2?xde?x??0?2 故 D(X)?E(X2)?(E(X))2?20, x??1??5、设连续型随机变量X的分布函数F(X)??a?barcsinx, ?1?x?1?1, x?1? 求 a、b、E(X)、D(X). 解: ? X为连续型随机变量，? F(x)为连续函数. ? F(?1)?F(?1), ? a?? F(1)?F(1), ? a????2b?0?2b?1可解得; a?X的概率密度12, b?1?.1?,x?1? f(x)?F?(x)???1?x2?0, 其它?·33· E(X)??????xf(x)dx??1x?1?1?xx222dx=0 D(X)?E(X)?令 x?sint，那么 D(X)?2?2?1?1dx?2?1?x??1x220dx ?1?x??20sin2tdt?126、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2、0.3, 假设它们的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求E(X)、D(X)解: 设Ai表示第i个部件需调整，i=1,2,3 Xi???1, Ai发生?0，Ai不发生， 那么 X?X1?X2?X3 E(Xi)?P(Ai), D(Xi)?P(Ai)?1?P(Ai)? i?1,2,3 故 E(X)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.1?0.2?0.3?0.6 D(X)?D(X1)?D(X2)?D(X3) ?0.1?0.9?0.2?0.8?0.3?0.7?0.467、对圆的直径作近似测量，设其值X匀称分布在区间[a,b]内，求圆面积的数学期望.解: 因为X~U(a,b)，所以X的密度?1?, a?x?b f(x)??b?a??0, 其它设Y=“圆面积”，那么 Y=π4?4X2，所以πbE(X)?E(X2)??4x2ab?adx??12(a?ab?b).2228、设随机变量X~e(2)、Y~e(4)，求E(X?Y)、E(2X?3Y).·34· 16113所以 E(X?Y)?E(X)?E(Y)???.244E(2X?3Y)?2E(X)?3D(Y)?(E(Y))2解: 明显 E(X)?12, E(Y)?14, D(Y)?1?2? ?1?3(116?116)?589、设(X,Y)的分布律为 求 E(X),E(Y). Y X 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1 -1 0 1 解: E(X)?(?1)(0.2?0.1?0)?0?1?(0.1?0.1?0.1)?0E(Y)?1?(0.2?0.1?0.1)?2?(0.1?0?0.1)?3?(0?0.3?0.1) ?210、确定随机变量X的概率密度为f(x)???X?E(X)D(X)?1?|1?x|00?x?2其它求X*?的概率密度 x?1?1?x?dx?1解: E(X)?2?20?10xdx?2??2x?x?dx?1212 E(X)??0xdx?3??2x122?xdx?163?76 D(X)?E(X)?(E(X))所以 XFX?(y)?PX?22??6(X?1)???y?P???6(X?1)?y?P?X???y?y?1??FX(?1)66?·35· 所1?1?d?y1y(1?y), y??fX?(y)?F(?1)?f(?1)??X??6X6dy?666??0, 其它?6以 11、设随机变量(X,Y)的密度函数为?2f(x,y)???00?x?1,0?y?x其它 求E(XY).y?x?1 解: E(XY)???xyfxOy10(x,y)dxdy?x1??2xydxdy G：0?G2 =2?xdx?ydy?0?0xxdx?14. 12、设随机变量X和Y相互独立，且E(X)?E(Y)?0,D(X)?D(Y)?1，求 E[(X?Y)2]. 解: E(X?Y)?2??E(X2)?E(Y)?2E(XY)22 ?D(X)?(E(X))?D(Y)?(E(Y))2?2E(X)E(Y)?213、设 二 维 随 机 变 量(X,Y) 的 均 值E(X)、E(Y)存 在 ，证 明 ： E(XY)?E(X)E(Y)?E?(X?E(X))(Y?E(Y))? 。

证：因为 E??X?E(X)??Y?E(Y)???E(XY)?E(X)E(Y) 所以 E(XY)?E(X)E(Y)?E??X?E(X)??Y?E(Y)?? 14、证 明 ： 如 果 随 机 变 量 X与 Y 相 互 独 立 ， 且D(X)，D(Y) 存 在 ，那么 D(XY)?D(X)D(Y)??E(X)?D(X)??E(Y)?D(Y)22 证： D(XY)?E[(XY)]?[E(XY)]22·36· ?E(XY)?[E(X)E(Y)]2222222222?E(X)E(Y)?[E(X)][E(Y)]2?{D(X)?[E(X)]}{D(Y)?[E(Y)]}?[E(X)][E(Y)]?D(X)D(Y)?[E(X)]D(Y)?[E(Y)]D(X)2215、设区域G为x2?y2?1，二维随机变量(X,Y)听从G上的匀称分布，判定X、Y 的相关性、独立性.解: 明显，二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为?1?, (x,y)?G f(x,y)?????0, (x,y)?G?1?x21?dy, x?1 f(x,y)dy????1?x2??? 0, 其它所以 fX(x)???????22?1?x, x?1 ??? ?? 0, 其它?22?1?y, y?1 fY(y)????? 0, 其它因此 E(X)??????xf(x)dx??12?1?x1?xdx?02同样可得 E(Y)?0 1又 E(XY)???xOyxyf(x,y)dxdy????xydxdy?0G所以 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 故X、Y不相关，但由于 fX(x)fY(y)?f(x,y) 所以X与Y不相互独立. ·37· 16、设随机变量X和Y的联合分布律为 X Y ?1 ?1 0 181 181818 181818 0 1 0 18 验证X,Y不相关，但X,Y不相互独立. 证：因为E(X)?(?1)?3838?0?1??0?1?3838?0E(Y)?(?1)? ?0E(XY)?(?1)?(?1)?18?0?(?1)?1?18?0?1?(?1)?18?0?1?1?18?0所以 cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0 故X,Y不相关. 又 p1??38, p?1?38， p11?。