高中数学第2章几个重要的不等式33.2数学归纳法的应用学案北师大版选修4-5-北师大版高.pdf

3.2 数学归纳法的应用学习目标： 1. 会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题.2. 了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式( 难点 ) 教材整理贝努利不等式定理阅读教材P38P39“练习”以上部分，完成下列问题定理对任何实数x 1 和任何正整数n，有 (1 x)n1nx. 在贝努利不等式中当x0 时，n为大于 1 的自然数，不等式形式将有何变化？ 解当x0 时，不等式将变成等式，即(1 x)n1nx. 贝努利不等式的简单应用【例 1】设ba0，nN，证明：banna(ba) 1. 精彩点拨 由ba0，令 1xba(x0)，利用贝努利不等式证明 自主解答 由ba0，知ba1，令 1xba(x0)，则xba1，由贝努利不等式(1 x)n1nx，ban(1 x)n1nx1nba1 ，故banna(ba)1. 利用 1xba代换，为利用贝努利不等式创造条件. 1试证明11n 12n+1 1 1n1与 11n1n+1 11nn (nN) 证明 由nN，n12.由贝努利不等式，得(1)11n12n+1 1 n1n1211n 1. (2) 由(1) 得11n1n+111n1n+1 1 1n1，故 11n1n+1 11n1-nn1nn 11nn. 用数学归纳法证明不等式【例 2】试证明： 2n2n2(nN) 精彩点拨 验证n1，2，3时，不等式成立假设nk成立，推证nk1nk1成立，结论得证 自主解答 (1) 当n1 时，左边 2124，右边 1，左边 右边；当n2 时，左边 222 6，右边 224，所以左边 右边；当n3 时，左边 232 10，右边 329，所以左边 右边因此当n 1,2,3时，不等式成立(2) 假设当nk(k3 且kN)时，不等式成立当nk1 时，2k+12 22k2 2(2k2) 22k22 k22k 1k22k 3 (k22k1)(k1)(k3)( 因k3，则k30，k10) k22k 1(k 1)2. 所以 2k+12(k1)2. 故当nk1 时，原不等式也成立根据 (1)(2)知，原不等式对于任何nN都成立通过本例可知，在证明nk1 时命题成立的过程中，针对目标k22k1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围k1 太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤把验证n1扩大到验证n 1，2，3 的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标 . 2已知Sn112131n(n1，n N) ，求证：S2n1n2(n2，nN) 证明 (1) 当n 2 时，S2211213142512122，即n 2时命题成立(2) 假设nk时命题成立，即S2k1121312k1k2. 当nk1 时，S2k+11121312k12k112k+11k22k2k2k1k2121k12. 故当nk1 时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1n2都成立探究性问题【例 3】设f(n) 112131n，由f(1) 112，f(3)1 ，f(7)32，f(15)2 ，.(1) 你能得到怎样的结论？并证明；(2) 是否存在一个正数T，使对任意的正整数n，恒有f(n)n2. 下面用数学归纳法证明：当n1 时，f(211)f(1) 112，不等式成立假设当nk(k1，kN) 时不等式成立，即f(2k 1)k2，则f(2k+11) f(2k1) 12k12k112k+1212k+11f(2k1) 12k212k12. 当nk1 时不等式也成立据知，对任何nN原不等式均成立(2) 对任意给定的正数T，设它的整数部分为T，记mT 1，则mT. 由(1) 知，f(22m1)m，f(22m1)T，这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n( 如可取假设中n为 2m) ， 使得f(n) T， 不存在正数T， 使得对任意的正整数n， 总有f(n)a24对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论 解当n1 时，111112131 1a24，则2624a24，a2524. (1)n1 时，已证(2) 假设当nk时，1k11k213k12524. 当nk1 时，1k1 11k1 213k113k 213k313k 1 11k11k213k113k213k313k41k1252413k213k423k1. 13k213k 46k19k218k823k1，13k213k 423k10，1k1 11k1 213k1 12524也成立由(1) ，(2) 可知，对一切nN，都有1n11n213n12524，a的最大值为25. 1用数学归纳法证明2nn2(n5，nN) 成立时第二步归纳假设的正确写法是( ) A假设nk时命题成立B假设nk(kN) 时命题成立C假设nk(k5)时命题成立D假设nk(k5) 时命题成立 解析 由题意知n5，nN，应假设nk(k5)时命题成立 答案 C 2利用数学归纳法证明不等式1121312n1f(n)(n2，nN) 的过程，由nk到nk 1 时，左边增加了( ) A1 项Bk项C2k-1项D2k项 解 析 11213 12k+111121312k112k12k112k2 12k+11. 共增加2k项 答案 D 3用数学归纳法证不等式1121412n-112764成立，起始值至少取( ) A7 B8 C9 D10 解析 左边等比数列求和Sn112n1122 112n12764，即 112n127128，12n1128，12n127. n7，n取 8，选 B. 答案 B 4用数学归纳法证明1121312n11) 时，第一步即证明不等式_成立 解析 因为n1，所以第一步n2，即证明112132 成立 答案 112132 5证明： 112131n2n(nN) 证明 (1) 当n 1 时，不等式成立(2) 假设nk时，不等式成立，即 112131k2k. 那么nk1 时，112131k1k 12k1k 12k k1 1k1kk1 1k12k 1. 这就是说，nk1 时，不等式也成立根据 (1)(2)可知不等式对任意nN成立。