线性代数笔记全.pdf

1 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 ( ) , n T A r An A A AxxAx A Ax A A AE οοο ββ = =⇔ ∀ ≠≠ ≠⇔ ∀ ∈= ≅ 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0 总有唯一解 是正定矩阵 R R 12 , si Ap ppp nBABEABE ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⋅⋅⋅ ⎪ ==⎪ ⎩ 是初等阵 存在 阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n维实向量构成的集合 n R R叫做n维向量空间. ( ) A r An AA A AxAολ 为同型矩阵作为向量组等价,即：秩 相等的向量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价⇔ 1212 (,,,)(,,,) nn rrα ααβ ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= 1212 (,,,,,,) nn r α ααβ ββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A与B等价. 13向量组 12 ,,, s β ββ⋅⋅⋅可由向量组 12 ,,, n α αα⋅⋅⋅ 线性表示⇔AXB=有解 ⇔ 12 (,,,)= n r α αα⋅⋅⋅ 1212 (,,,,,,) ns r α ααβ ββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 12 (,,,) s r β ββ⋅⋅⋅≤ 12 (,,,) n r α αα⋅⋅⋅. 14向量组 12 ,,, s β ββ⋅⋅⋅可由向量组 12 ,,, n α αα⋅⋅⋅线性表示,且sn，则 12 ,,, s β ββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组 12 ,,, s β ββ⋅⋅⋅线性无关,且可由 12 ,,, n α αα⋅⋅⋅线性表示,则s≤n. 15向量组 12 ,,, s β ββ⋅⋅⋅可由向量组 12 ,,, n α αα⋅⋅⋅线性表示,且 12 (,,,) s r β ββ⋅⋅⋅ 12 (,,,) n r α αα=⋅⋅⋅,则两向量组等 价；p教材94,例10 16任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 17向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 18若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 19设A是mn×矩阵,若( )r Am=，A的行向量线性无关； 6 若( )r An=，A的列向量线性无关,即： 12 ,,, n α αα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质： ①( )AOr A≠⇔若≥1( )0AOr A=⇔=若0≤() m n r A × ≤min( , )m n ②( )()() TT r Ar Ar A A== p教材101,例15 ③()( )r kAr Ak=≠ 若0 ④ ( )( ) ,,() 0 m nn s r Ar Bn ABr AB BAx ×× +≤⎧ =⇒⎨ = ⎩ 若若0 的列向量全部是的解 ⑤()r AB≤{} min ( ), ( )r A r B ⑥ ()( ) ()( ) Ar ABr B Br ABr A ⇒= ⇒= 若 可逆 若 可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ⑦若 ()( ) () m n Ax r ABr B r An ABOBO A ABACBC ο × ⇔=⎧ ⎪ =⎧ ⎪ = ⎨⎪ ⇒=⇒=⎧ ⎨ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ =⇒= ⎩⎩ ⎩ 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律 ； 若 ()( ) () n s r ABr B r Bn B × =⎧ =⇒⎨ ⎩ 在矩阵乘法中有右消去律. ⑧ ( ) rr EOEO r ArAA OOOO ⎛⎞⎛⎞ =⇒ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 若与唯一的等价，称为矩阵 的等价标准型. ⑨()r AB±≤( )( )r Ar B+{}max( ), ( )r A r B≤( , )r A B≤( )( )r Ar B+ p教材70 ⑩( )( ) AOOA rr Ar B OBBO ⎛⎞⎛⎞ ==+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ( )( ) AC rr Ar B OB ⎛⎞ ≠+ ⎜⎟ ⎝⎠ 7 12 12 12 ,,,0 ,,,( )() ,,, A n n A n AxA n Ax Axr Ar A AxA n β α αα βα ααββ β α αα ⇔=⎯⎯⎯⎯ ⎯ →= 0L . 17 正定矩阵正定二次型对应的矩阵. √( ) T f xx Ax=为正定二次型⇔（之一成立） ： 1xο∀ ≠， T x Ax 0； 2A的特征值全大于0； 3f的正惯性指数为n； 4A的所有顺序主子式全大于0； 5A与E合同，即存在可逆矩阵C使得 T C ACE=； 6存在可逆矩阵P，使得 T AP P=； 7存在正交矩阵C，使得 1 21T n C ACC AC λ λ λ − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ O （ i λ 大于0）. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √A为正定矩阵⇒ ii a 0；0A. √A为正定矩阵⇒ 1 ,, T A A A −∗也是正定矩阵. √A与B合同，若A为正定矩阵⇒B为正定矩阵 √,A B为正定矩阵⇒AB+为正定矩阵，但,AB BA不一定为正定矩阵. 。