基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理_郑权.pdf

第 19 卷第 6 期大 学 数 学Vol. 19, №. 62003 年 12 月COLLEGE MATHEMAT ICSDec. 2003基于微分中值定理证明微积分基本公式 和积分中值定理郑 权(北方工业大学 理学院, 北京 100041)我们都知道证明微积分基本公式( 牛顿—莱布尼兹公式) 和证明积分中值定理的通常的方法, 也就 是先利用积分中值定理推出积分上限的函数的导数公式, 然后由此再借助原函数的概念证明微积分基本公式, 以及利用定积分的性质( 即估值定理) 和闭区间上连续函数的介值定理证明积分中值定理, 其中积分中值定理的中间点 ?的范围是 a≤? ≤b[ 1]. 本文将根据微分中值定理和定积分定义直接证明微积分基本公式, 并直接揭示微分学和积分学的密切联系; 进一步, 根据微分中值定理和原函数存在定理简洁 地证明积分中值定理, 并阐明它的中间点 ?的范围是 a< ? < b, 这使得微分中值定理和积分中值定理的中间点 ?的取值范围都一致的是开区间( a, b) .定理 1( 微积分基本公式) 如果函数 F( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[ a, b] 上的一个原函数, 则 ∫baf ( x) dx = F( b) - F( a) .证 在[ a, b] 中任意插入若干个分点a= x0< x1< x2< ⋯< xn- 1< xn= b,得到F( b) - F( a) =∑ni= 1[ F( xi) - F( xi- 1) ] .对于上式右边的和式中的每一项应用微分中值定理, 得到F( b) - F( a) =∑ni= 1F′ ( ?i) ( xi- xi- 1) =∑ni= 1f ( ?i) ( xi- xi- 1) , xi- 1< ?i< xi.记 ?xi= xi- xi- 1, i= 1, 2, ⋯, n, ? = max{?x1, ?x2, ⋯, ?xn}. 因为连续函数 f ( x ) 在区间[ a, b] 上可积, 所以在上式中令 ? →0, 根据定积分定义就得到F( b) - F( a) = lim? →0∑ni= 1f ( ?i) ( xi- xi- 1) =∫baf ( x) dx.定理1得证.应该注意到, 上述证明不仅与类似的证明( 如[ 2] 中定理9. 1) 相比是简洁的, 而且更重要的是它直接 体现了实际意义, 即用几个等式表示出函数的增量与函数的变化率之间是如何构成联系的, 并不是通常的借助积分上限的函数的导数和原函数的概念推出结果. 比如, 我们不妨把上述证明直接翻译成一种清晰贴切的物理意义, 亦即, 变速直线运动的位置函数 s( t) 是速度函数 v( t) 的一个原函数, 在时间间隔[ T1, T2] 上位置函数与速度函数通过如下等式建立联系:s( T2) - s( T1) =∑ni= 1[ s( ti) - s( ti- 1) ] =∑ni= 1v( ?i) ( ti- ti- 1) , ti- 1< ?i< ti,[ 收稿日期] 2002-07- 02[ 基金项目] 北京市教育委员会科技发展计划项目和北方工业大学教改基金项目s( T2) - s( T1) = lim? →0∑ni= 1v( ?i) ( ti- ti- 1) =∫T2T1v( t) dt,也就是 位置函数的增量= ? 小时间段的路程= ? 小时段某时刻的速度×小时段的长,位置函数的增量= lim? 小时段某时刻的速度×小时段的长= 速度函数在[ T1, T2] 上的积分.可见, 定理1的这个证明过程并不象通常那样绕弯就直接揭示出, 连续函数 f ( x) 在区间[ a, b] 上的定积分等于 f ( x) 的原函数在区间[ a, b] 上的增量.定理2( 积分中值定理) 如果函数 f ( x) 在闭区间[ a, b] 上连续, 则在开区间( a, b) 内至少存在一个 点 ? , 使下式成立 ∫baf ( x) dx= f ( ? ) ( b- a) , a< ? < b.证 由原函数存在定理知, 连续函数 f ( x) 在闭区间[ a, b] 上具有原函数 F( x ) . 再根据定理1和微分中值定理就得到 ∫baf ( x ) dx= F( b) - F( a) = F′ ( ? ) ( b- a) = f ( ? ) ( b- a) , a< ? < b.应该注意到, 定理1就是通常熟知的微积分基本公式, 定理2也是通常熟知的积分中值定理, 不过这里 a< ? < b. 还应该注意到, 定理1和定理2把微分中值定理、 微积分基本公式和积分中值定理三者联系到一起, 即有F( b) - F( a) = f ( ? ) ( b- a) =∫baf ( x) dx, a< ? < b.最后需要指出, 如果函数 f ( x) 在闭区间[ a, b] 上除了内部的有限多个第一类间断点之外是连续的, 那么定理1的结论仍是成立的. 事实上, 只需在其证明中把这些间断点也都取为插入的分点, 则此结论立即得证[ 3]. 但是, 此时定理2的结论不成立, 即使 a≤? ≤b. 例如, 对于闭区间[ 1, 2] 上的如下的分段连续函数 f ( x) 及其原函数 F( x) ,f ( x) =0,0≤x≤1, 1,1< x≤2,F( x) =C,0≤x ≤1, x+ C- 1,1< x ≤2,定理1的结论是成立的, 即 F( 2) - F( 0) = 1=∫20f ( x) dx . 但是, 定理2的结论不成立.[ 参 考 文 献][ 1] 同济大学数学教研室. 高等数学( 第四版)[ M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[ 2] 华东师范大学数学系. 数学分析( 第三版)[ M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.[ 3] 陈大均. 微积分基本公式和中值定理[J] . 工科数学, 1995, 11( 1) , 171- 172.122大 学 数 学 第 19 卷。