第3章导数的应用ppt课件.ppt

第3章　导数的应用【学习目标】　　1.了解拉格朗日中值定理及其推论；　　2.掌握函数单调性的判定方法，会求函数的极值与最值；　　3.会用导数解决有关应用问题；　　4.掌握用洛必达法则求未定式的极限的方法；　　5.培养学生分析问题、解决问题的能力.3.1　拉格朗日中值定理及函数的单调性　　1.拉格朗日中值定理　　定理(拉格朗日中值定理)　设函数ｆ(ｘ)满足条件：　　(１)在闭区间［ａ，ｂ］上连续；　　(２)在开区间(ａ，ｂ)内可导；则至少存在一点ξ∈(ａ，ｂ)，使得　　定理的几何意义如图3-1所示，ｆ(ｂ)－ｆ(ａ)ｂ－ａ表示割线ＡＢ的斜率，当函数ｆ(ｘ)满足条件(１)、(２)时，在曲线上至少存在一点，使得曲线在该点的切线平行于割线AB.　　由拉格朗日中值定理可以得出下面两个重要的推论：　　推论　如果在开区间(ａ，ｂ)内，恒有f′(ｘ)＝０，则ｆ(ｘ)在(ａ，ｂ)内恒等于常数.　　证　任取ｘ１，ｘ２∈(ａ，ｂ)，且ｘ１＜ｘ２，则ｆ(ｘ)在闭区间［ｘ１，ｘ２］上满足拉格朗日中值定理的条件，即　ξ∈(ｘ１，ｘ２)　　由假设f′(ξ)＝０，可得ｆ(ｘ１)＝ｆ(ｘ２).这就是说在开区间(ａ，ｂ)内任意两点的函数值皆相等，所以ｆ(ｘ)在区间(ａ，ｂ)内为一常数.　　2.函数单调性的判别法　　我们已经学习过函数在某区间上的单调性的概念，并掌握了用定义判断函数在区间上单调性的方法.事实上，只要根据函数ｆ(ｘ)的导数在这一区间的符号，就可以判定它是单调增加还是单调减少.　　由图3-2可以看出，如果函数在区间［ａ，ｂ］上是增函数，那么它的图像是一条沿ｘ轴正方向上升的曲线，这时曲线上各点的切线的倾斜角都是锐角，因此它们的斜率f′(ｘ)都是正的，即f′(ｘ)＞０.同样由图3-３可以看出，如　　由以上讨论可以得到如下判定函数单调性的一般步骤：　　(１)确定函数的定义域；　　(２)求出使f′(ｘ)＝０和f′(ｘ)不存在的点ｘ，并以这些点为分界点，将定义域分为若干个子区间；　　(３)列表考察f′(ｘ)在各子区间内的符号，给出ｙ＝ｆ(ｘ)在相应区间上的单调性.3.2　函数的极值与最值　　1.函数的极值　　对于上节例2中的函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ，我们用描点法作出它的图像，如图3-4所示.　 由于函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ在区间(－∞，－１)内是增函数，在区间(－１，１)内是减函数.因而，在区间(－∞，－１)内任取一点ｘ≠－１，都有类似地，在区间(１，＋∞)内任取一点ｘ≠１，都有　　一般地，设函数ｆ(ｘ)在ｘ０及其左右近旁有定义，在ｘ０的左、右近旁任取ｘ≠ｘ０，如果都有 那么称ｆ(ｘ０)为ｆ(ｘ)的一个极大值或极小值，点ｘ０叫做函数ｆ(ｘ)的极大值点或极小值点.由以上的讨论，可以得到求函数ｆ(ｘ)极值的步骤如下：　　(１)确定函数的定义域；　　(２)求出导数f′(ｘ)；　　(３)求出导数f′(ｘ)＝０和导数f′(ｘ)不存在的点；　　(４)考察f′(ｘ)在(３)中点的左、右区间的符号，确定该点是否为极值点；　　(５)求出各极值点的函数值，即得函数的全部极值.2.函数的最大值与最小值　　在实际问题中，常常会遇到：在一定条件下，怎样使“用料最省”、“产量最大”、“成本最低”、“效率最高〞等问题，这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值与最小值问题.　　由前面的学习可知，闭区间［ａ，ｂ］上的连续函数，必取得最大值与最小值.而最大值与最小值可能在闭区间［ａ，ｂ］的端点或开区间(ａ，ｂ)内的点取得，因而，我们只要求出开区间(a，b)内的极值和端点处的函数值ｆ(ａ)、ｆ(ｂ)，并比较它们的大小，就可得到函数在［ａ，ｂ］上的最大值和最小值.3.3　导数在经济分析中的应用　　1.边际函数与边际分析　　定义1　设经济函数ｙ＝ｆ(ｘ)在ｘ处可导，则导数f′(ｘ)称为ｆ(ｘ)的边际函数，记作Ｍｙ或Ｍｆ(ｘ). 称为ｆ(ｘ)在(ｘ０，ｘ０＋Δｘ)内的平均变化率，它表示ｆ(ｘ)在(ｘ０，ｘ０＋Δｘ)内的平均变化速度.　　ｆ(ｘ)在点ｘ＝ｘ０处的导数f′(ｘ０)称为ｆ(ｘ)在点ｘ＝ｘ０处的边际函数值，也称为ｆ(ｘ)在点ｘ＝ｘ０处的变化率，它表示ｆ(ｘ)在点ｘ＝ｘ０处的变化速度.　　边际函数值的意义是：当ｘ＝ｘ０时，ｘ改变一个单位，ｙ改变f′(ｘ０)个单位.　　2.函数的弹性与弹性分析　　边际函数是函数的绝对变化率.在实际问题中，仅研究函数的绝对变化率是不够的.一般地，若函数f(x)在x可导，则有　　函数f(x)在点x的弹性EExf(x) 反映了随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度.　　弹性的经济意义：EExf(x0)表示在点x=x0处，当x改变1%时，f(x)改变EExf(x0)%.　若y表示市场对某商品的需求量，价格为P，那么称为该商品的需求弹性.3.4　洛必达法则　　如果当x→a(或x→∞)时，函数f(x)和g(x)都趋于零，或都趋于无穷大，那么极限imx→af(x)g(x)或limx→∞f(x)g(x)可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为未定式.并分别简称为００型或∞∞型未定式.则有　　这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限值的方法，称为洛必达法则.。