2018版高中数学人教版A版必修三学案：2.2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征 .docx

2．2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征[学习目标]　1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.理解用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．知识点一　众数、中位数、平均数1．众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．2．三种数字特征与频率分布直方图的关系众数众数是最高长方形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；(2)表示样本数据所占频率的等分线平均数(1)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；(2)平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点知识点二　标准差、方差1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．假设样本数据是x1，x2，…，xn，表示这组数据的平均数．xi到的距离是|xi－|(i＝1,2，…，n)，则用如下公式来计算标准差：s＝(2)计算标准差的步骤①求样本数据的平均数；②求每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)；③求(xi－)2(i＝1,2，…，n)；④求s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]；⑤求s＝，即为标准差．2．方差标准差的平方s2叫做方差．s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中，xi(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．题型一　众数、中位数、平均数的简单运用例1　某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．解　(1)平均数是：＝1500＋≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)新的平均数是＝1500＋≈1500＋1788＝3288(元)，新的中位数是1500元，新的众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟　1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a的左右摆动时，用简化公式：＝＋a.跟踪训练1　在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．解　在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69(m)．答　17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m，1.70m,1.69m.题型二　平均数和方差的运用例2　甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99　100　98　100　100　103乙：99　100　102　99　100　100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解　(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．反思与感悟　1.极差、方差与标准差的区别与联系：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差或标准差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离．2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练2　某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：102　101　99　98　103　98　99乙：110115908575115110(1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．解　(1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)甲＝(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；乙＝(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x＝[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；s＝[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57.所以s＜s，故甲车间产品较稳定．题型三　频率分布与数字特征的综合应用例3　已知一组数据：125　121　123　125　127　129　125　128　130　129126　124　125　127　126　122　124　125　126　128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率[121,123)[123,125)[125,127)[127,129)[129,131]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．解　(1)分组频数频率[121,123)20.1[123,125)30.15[125,127)80.4[127,129)40.2[129,131]30.15合计201(2)频率分布直方图如下：(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×＝126.25，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均数的精确值为＝125.75.反思与感悟　1.利用频率分布直方图估计数字特征：(1)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数左右两侧直方图面积相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致．跟踪训练3　某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05..求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；(2)高一参赛学生的平均成绩．解　(1)由图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65.(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67.分类讨论思想例4　某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．分析　由于x未知，因此中位数不确定，需讨论．解　该组数据的平均数为(10＋10＋x＋8)＝(28＋x)，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1)当x≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由(28＋x)＝9，得x＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是(x＋10)，由(28＋x)＝(10＋x)，得x＝8，与8＜x≤10矛盾，舍去；(3)当x＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x，中位数是10，由(28＋x)＝10，得x＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.解后反思　一组数据按从小到大排列，中间一个(或中间两项的平均数)为中位数．当题目中含有参数，且参数的不同取值影响求解结果时，需对参数的取值分类讨论．1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)A．平均数 B．中位数C．方差 D．众数答案　C解析　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于(　　)A．21B．22C．20D．23答案　A解析　根据题意知，中位数22＝，则x＝21.3．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)A．3B．4C．5D．6答案　C解析　x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.所以a＝1，b＝4，则方差为s2＝5.4．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于(　　)A．5B．。