高考复习第五章复数.docx

优秀学习资料 欢迎下载一、考纲要求高考复习指导讲义 第五章 复数1. 懂得复数、虚数、纯虚数的概念以及复数相等的概念，把握复数的代数形式及其运算法就，能正确地进行复数代数的运算；2. 把握复数三角形式及其特点，三角形式与代数形式的互化能娴熟运用复数的三角形式进行复数的乘、除法及乘方、开方运算；3. 懂得复数的模、辐角、辐角主值和共轭复数的概念，把握相关性质，能运用它们解决相关的复数问题；4. 懂得复数的几何表示及向量表示，把握复数加法、减法、乘法的几何意义，并能运用它们解决一些复数问题，会运算平面上两点间的距离；5. 把握复平面上点的轨迹方程的复数表示形式，会运用复数有关性质求点的轨迹方程；6. 把握一元二次方程、二项方程在复数集上的解法，某些复系数方程和含有参数的方程的解法；韦达定理、实系数方程的虚根成对等性质及应用；二、学问结构学习复数，要抓住概念、运算、几何意义三个环节复数概念的最重要内容是复数的二维性，即复数是形如 a+bi,〔a,b R〕 的数；复数的二维性又打算了争论复数的基本方法是分别实部和虚部的方法；新概念、新算法、新结论、范畴大、头绪多是实数集合所没有的，列表=I i4k如下：i虚数单位 i2=-1=1 i4k+14k+2=-1 i4k+3=-i〔k ∈ N〕1 =-I 〔1 i〕 2= 2 i1 i =I1 i =-i复 i数 a=c1 - i 1 i概 复数的实部、虚部—— a+bi=c+di念 b=d共轭复数Z 1 Z 2= Z 1 Z 2Z 1 Z 2 = Z1 Z 2复数 共轭虚数Z1 =〔 Z1Z 2 Z 2〕〔Z 2≠ 0〕向量、模、等向量、零向量a+bi 〔a ， b〕 OZ复数的向量表示 ｜ Z1｜ - ｜Z2｜≤｜ Z1Z2｜≤｜ Z1｜+｜ Z2｜｜ Z1 Z2｜=｜ Z1｜｜ Z2｜Z 1 Z1复数的模 ｜ ｜ =Z 2 Z 2｜ Zn｜ =｜Z｜ n〔a+bi〕+〔c+di〕=〔a+c〕+〔b+d〕i复数的加法法就复数加法的几何意义复数代数 〔a+bi〕-〔c+di〕=〔a-c〕+〔b-d〕i形式的四 复数的减法法就就运算 复数减法的几何意义复平面上两点间的距离 d=｜ Z1-Z 2｜复数的乘法法就— 〔a+bi〕〔c+di〕=〔ac-bd〕+〔ad+bc〕i复数的除法法就—a bi ac=bd bc - ad+ ic dic2 d 2c2 d 2— —复数的模 复数的辐角 复数的辐角主值优秀学习资料 欢迎下载代数形式与三角形式的互化 a+bi=r〔cos θ +sinθ 〕acos sinr 〔r=bra2 b2 〕复数三角形式的乘r 1〔cos θ +isin θ 1〕 r 2〔cos θ 2+sin θ 2〕=r1r 2［cos〔θ1 +θ 2 〕+isin〔 θ1+θ2 〕］复数的三角形式Z=r〔cos+sin 〕法法就 复数乘法的几何意义：将向量 a+bi 逆 时针旋转 θ 得〔a+bi〕〔cos θ+isin θ 〕棣莫佛定理 ［ r〔cosθ +sinθ 〕］n=r n〔cosnθ +isin n θ 〕r1 〔cos 1sin1 .〕r1= ［ cos〔θ 1-θ 2〕+isin〔 θ 1-θ 2〕］复数三角式的除法r2 〔cos 2i sin 2 〕 r2法就 复数除将向量 a+bi 顺时针方向旋转 θ 得法的几 —何意义：a cosbisin=〔a+bi〕〔cos θ -sinθ 〕如 Z=r〔cos θ+sinQ〕 就 Z 的几次方根为x r = n r 〔cos2k+isinn2kn〕n复数三角式的开方法就三、学问点、才能点提示二项方程的解法实系数一元二次方程的虚根求法复数是一个重要内容，解决复数问题，通常是运用代数形式把它转化为实数问题去解决；运用三角形式把它转化成三角问题去解决；运用向量及其几何形式把它转化为平面几何问题或解析几何问题去解决，有时需要运用 复数本身一些特有形式如共轭运算，模运算等；复数沟通了代数、三角、几何之间的联系，因而复数问题的解法往往综合性强且构思奇妙，方法敏捷，复数运算中，求值是最常见的，不仅要用到复数的几种形式，而且有时需运用代数中的换元法及整体变形，或综合运用其他学问，如：求最值常用基本不等式，函数方法，复数仍常用到数列，二项式定理等学问；优秀学习资料 欢迎下载22复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算；多样性的运算使我们争论复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中挑选较好的方式，运算常用的结论：1.〔1+i〕=2i,〔1-i〕=-2i 〔a+bi〕+〔a-bi〕=2a 〔a,b R〕2 2 2 2 2〔a+bi〕〔a-bi〕=a +b〔a+bi〕=a -b+2abi 〔a,b R〕2 2 2〔a-bi〕=a -b -2abi 〔a,b R〕等2.i 4k=1,i 4k+1=i,i 4k+2 =-1,i 4k+3 =i〔b N〕3.Z+ Z =2ReZ Z- Z =2ImZi〔 其中 ReZ,ImZ 分别表示复数 Z 的实部和虚部 〕24.Z Z =｜ Z｜ =｜ Z ｜ 25. 设 w=- 1 +23 i 就 w3=1,1+w+w2=0, w =w2= 12 w6. Z1Z 2 =Z 1 Z 2Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 〔Z1 〕= Z1 Z 2 Z2〔Z 2≠0〕Z 1 Z17. ｜ Z1 Z2｜ =｜Z1｜｜ Z2｜ ｜ ｜ =Z 2 Z 28. Z= Z Z R9. Z=- Z Z=ki〔k R〕 Z =Z〔Z 2≠ 0〕10. ［r 1〔cos θ 1+isin θ 1〕 ］［r 2〔cos θ 2+isin θ 2〕 ］ ［ r k〔cos θ k+isin θ k〕 ］=r 1r 2r 3 r k ［ cos〔 θ 1+θ 2+θ 3+ +θ k〕+isin〔 θ 1+θ 2+θ3+ θ k〕 ］其中 r 1r 2r 3 r k≥ 0〔 θ1、θ 2、θ 3 θk R〕这些学问点沟通了复数与实数之间的联系，将复数问题化为实数问题解决，训练同学的化归思想，同时，在处理数据关系时，会依据法就，公式正确地进行运算，而且能依据题目寻求合理、简捷的运算途径，培育同学的思维才能和运算技能；复数的运算主要是数与式的组合变形和分解变形，很好的培育了同学的运算才能；复数的几何意义包括两方面内容，一方面是复数与复平面上的点，复数与复平面上从原点动身的向量间的一一对应；另一方面是加、减、乘、除、乘方、开方的几何意义；加法的几何意义：没OZ1 ， OZ 2各与复数 Z1，Z2 对应，以OZ1 ，OZ2为边的平行四边形的对角线 OZ 就与 Z1+Z2 对应；减法的几何意义：没OZ1 ， OZ2各与复数 Z1，Z2 对应，就图中向量Z1 Z 2所对应的复数就是 Z2-Z 1 ；｜ Z1-Z 2｜的几何意义是分别与 Z1， Z2 对应的两点间的距离；乘法的几何意义：设 AB 表示复数 r〔cos θ +isin θ 〕〔r ＞ 0〕 ，把 AB 绕 A 点按逆时针方向旋转 α 角，旋转后再把所得向量的长 度变为原先的 k 倍〔k ＞ 0〕 得到 AC ，就 AC 对应的复数是［ r〔cos θ +isin θ 〕 ］k〔cos α +isin α 〕 ，假如把 AB 绕A 点按顺时针方向进行同样方式的旋转和伸缩，那么所得向量对应的复数是［ r〔cos θ +isin θ〕 ］ k〔cos α -isinα 〕除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式， Z1 Z2=Z1 〔的几何意义实质相同；1〕 因此除法运算的几何意义与乘法运算Z 2复数方根的几何意义：设 OZ 对应的复数是 Z，Z 的 n 次方根 〔n ≥ 2,n N〕对应于从原点动身且在原点处 n 等分圆围角的 n 个向量，这 n 个向量的模都是 n n ，其中一个向量的辐角是复数 Z 的辐角的 n 分之一，图中画出了模为 8 的向量 OZ 所对应的复数的三次方根OZ1， OZ 2， OZ 3，其中OZ1的辐角取 OZ 辐角的三分之一；优秀学习资料 欢迎下载懂得复数运算的几何意义，通过图形来争论代数问题，把握数形结合这一重要的思想方法；数学是揭示客观事物的数量和形体的本质关系和联系的科学，从熟悉的角度考虑“数”与“形”是事物的两个侧面，数形结合正是从这两个方面去熟悉事物的特点；在解决数学问题时，通过数形结合，可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形，发挥直观对抽象的作用，实现抽象概念和详细形象的联系，可以把数量关系转化为图形的性质来争论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题；由复数的几何意义推导的以下结论对数形结合思想的培育很有帮忙；Z11.Z 1Z2≠ 0，就｜ Z1+Z2｜ =｜Z1 -Z 2｜=λ i 〔 λ R 且λ≠ 0〕 对应的向量Z 2OZ1⊥ OZ 22. 设 P 点对应的复数为 Z1，点 Q对应的复数为 Z2，就向量 PQ 对应的复数是 Z2-Z 13. 向量 PQ 绕点 P 顺时针方向旋转角 θ 〔 θ＞ 0〕 所得到的向量对应的复数应是 〔Z 2-Z 1〕 ［ cos〔- θ 〕+isin〔- θ 〕 ］而旋转之后点 Q对应的复数应是 〔Z 2-Z 1〕 ［cos〔- θ 〕+isin〔- θ 〕 ］ +Z24. ｜ Z-Z 1｜ =｜ Z-Z 2｜表示以复数 Z1、Z2 在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程；5. ｜ Z-Z 0｜ =γ表示以 Z0 为复平面内对应的点 Z0 为圆心，半径是 γ 的圆的方程；6. ｜ Z-Z 1｜ +｜ Z-Z 2｜ =2a〔2a ＞｜ Z1Z2｜〕 表示以 Z1、Z2 在复平面内对应的点 Z1、Z2 为焦点， 长轴是 2a 的椭圆方程；7. ｜ Z-Z 1｜ - ｜ Z-Z 2｜ =2a〔2a ＜｜ Z1Z2｜〕 表示以 Z1、Z2 在复平面内对应点 Z1、Z2 为焦点， 实轴长是 2a 的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题：①复数集上方程的求解；②依据方程解的情形争论参数的取值范畴；。