2011全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题).doc

§18直线和圆，圆锥曲线课后练习1．已知点A为双曲线的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，是等边三角形，则的面积是（A） （B） （C） （D）2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是（A） （B） （C） （D）3．若实数x, y满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x2+y2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) (D) 4．直线椭圆相交于A，B两点，该圆上点P，使得⊿PAB面积等于3，这样的点P共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个5．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab的图形是 yyyyxxxx A B C D 6．过抛物线y2＝8(x＋2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A． B． C． D．7．方程表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线8．在椭圆中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B。

若该椭圆的离心率是，则= 9．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|＝2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于______________．10．在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为___________________11．若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　 　　.12．已知：和：试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对任意一点P，均存在以P为顶点、与外切、与内接的平行四边形？并证明你的结论13． 设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P1）实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0

Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围17．过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E段AC上，满足;点F段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.课后练习答案1.C 2.B 3.B 4.B 5.B 6.A 7.C 8.90º 9.10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a＝3，b＝2，c＝，故，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又已知[PF1|：|PF2|＝2：1，故可得|PFl|＝4，|PF2|＝2．在△PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而22＋42＝(2)2，可见△PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故△PFlF2的面积＝4．11. 解：经过M、N两点的圆的圆心段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为S（a，3－a），则圆S的方程为： 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的a值必须满足解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为，而过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为112.解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得令正方形边长为则①在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.①、②联立解得或13.利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为------（1）显知此平行四边形ABCD必为菱形，设A，则B代入（1）式相加：由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB的距离为1，∴，从而，∴14. 解：(1)由 消去y得： ① 设，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况： 1°△＝0得：，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合； 2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a； 3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合． f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a． 综上可知，当0＜a＜1时，或－a＜m≤a； 当a≥1时，－a＜m＜a． (2)△OAP的面积 ∵0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜＜a， 由唯一性得 显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝取值最大，此时，∴． 当时，xp＝－a2，yp＝，此时． 下面比较与的大小： 令，得 故当0＜a≤时，≤，此时． 当时，，此时． 15.解：设点坐标为，点坐标为．显然，故由于，所以从而，消去，注意到得：由解得：或．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，均满足是题意．故点的纵坐标的取值范围是或．16.解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线．设P(x，y)为MN上任一点，则｜PA/｜＝｜PA｜ 5分　　∴　　即 10分 ∴　　可得：　　∴≤1　(此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分　　平方后可化为　≥1，　　即所求点的集合为椭圆圆＝1外(含边界)的部分． 20分17. 解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。

点到AB、AC、BC的距离依次为依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S： （Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S： ①与双曲线T： ②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为代入方程②得，解得表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是 ④或 ⑤解方程④得，解方程⑤得。

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集 18.解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点. 设、、、，则由知，得∴EF所在直线方程为：化简得…①当时，直线CD的方程为：…②联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为： 当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴∴所求轨迹方程为 解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. 令则因为CD为的中线，而是的重心. 设因点C异于A，则故重心P的坐标为消去得故所求轨迹方程为。