高数学复习函数的综合问题.doc

2.12 函数的综合问题●知识梳理 函数的综合应用主要体现在以下几方面： 1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合. 2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与 函数的综合.这是高考主要考查的内容. 3.函数与实际应用问题的综合. ●点击双基 1.已知函数 f（x）=lg（2x－b） （b 为常数） ，若 x∈［1，+∞）时，f（x）≥0 恒成立， 则A.b≤1 B.b＜1 C.b≥1 D.b=1 解析：当 x∈［1，+∞）时，f（x）≥0，从而 2x－b≥1，即 b≤2x－1.而x∈［1，+∞）时，2x－1 单调增加， ∴b≤2－1=1. 答案：A 2.若 f（x）是 R 上的减函数，且 f（x）的图象经过点 A（0，3）和 B（3，－1） ，则不 等式|f（x+1）－1|＜2 的解集是___________________. 解析：由|f（x+1）－1|＜2 得－2＜f（x+1）－1＜2，即－1＜f（x+1）＜3. 又 f（x）是 R 上的减函数，且 f（x）的图象过点 A（0，3） ，B（3，－1） ，∴f（3）＜f（x+1）＜f（0）. ∴0＜x+1＜3，－1＜x＜2. 答案：（－1，2） ●典例剖析 【例 1】 取第一象限内的点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，使 1，x1，x2，2 依次成等差数 列，1，y1，y2，2 依次成等比数列，则点 P1、P2与射线 l:y=x（x＞0）的关系为 A.点 P1、P2都在 l 的上方B.点 P1、P2都在 l 上 C.点 P1在 l 的下方，P2在 l 的上方D.点 P1、P2都在 l 的下方剖析：x1=+1=，x2=1+=，y1=1×=，y2=，∵y1＜x1，y2＜x2，31 34 32 35323234∴P1、P2都在 l 的下方. 答案：D 【例 2】 已知 f（x）是 R 上的偶函数，且 f（2）=0，g（x）是 R 上的奇函数，且对 于 x∈R，都有 g（x）=f（x－1） ，求 f（2002）的值. 解：由g（x）=f（x－1） ，x∈R，得f（x）=g（x+1）.又 f（－x）=f（x） ，g（－x） =－g（x） ， 故有 f（x）=f（－x）=g（－x+1）=－g（x－1）=－f（x－2）=－f（2－x） =－g（3－x）= g（x－3）=f（x－4） ，也即 f（x+4）=f（x） ，x∈R.∴f（x）为周期函数，其周期 T=4. ∴f（2002）=f（4×500＋2）＝f（2）=0. 评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.【例 3】 函数 f（x）=（m＞0） ，x1、x2∈R，当 x1+x2=1 时，f（x1）+f（x2）=mx41.21（1）求 m 的值；（2）数列{an}，已知 an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1） ，求 an.n1 n2 nn1解：（1）由 f（x1）+f（x2）=，得+=，21 mx141 mx241 21∴4+4+2m=［4+m（4+4）+m2］.1x2x 2121xx 1x2x∵x1+x2=1，∴（2－m） （4+4）=（m－2）2.1x2x∴4+4=2－m 或 2－m=0.1x2x∵4+4≥2=2=4，1x2x2144xx214xx 而 m＞0 时 2－m＜2，∴4+4≠2－m.1x2x∴m=2.（2）∵an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1） ，∴an=f（1）n1 n2 nn1+f（）+ f（）+…+f（）+f（0）.nn1 nn2 n1∴2an=［f（0）+f（1） ］+［f（）+f（） ］+…+［f（1）+f（0） ］n1 nn1=++…+=.21 21 21 21n∴an=.41n深化拓展用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.【例 4】 函数 f（x）的定义域为 R，且对任意 x、y∈R，有 f（x+y）=f（x）+f（y） ， 且当 x＞0 时，f（x）＜0，f（1）=－2. （1）证明 f（x）是奇函数； （2）证明 f（x）在 R 上是减函数； （3）求 f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值. （1）证明：由 f（x+y）=f（x）+f（y） ，得 f［x+（－x） ］=f（x）+f（－x） ，∴f（x）+ f（－x）=f（0）.又 f（0+0）=f（0）+f（0） ，∴f（0）=0.从而有 f（x） +f（－x）=0.∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数. （2）证明：任取 x1、x2∈R，且 x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1） ］ =f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1） ］=－f（x2－x1）.由 x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0. ∴－f（x2－x1）＞0，即 f（x1）＞f（x2） ，从而 f（x）在 R 上是减函数. （3）解：由于 f（x）在 R 上是减函数，故 f（x）在［－3，3］上的最大值是 f（－3） ， 最小值是 f（3）.由 f（1）=－2，得 f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1） =f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是戒烟最好的方法 戒烟产品 戒烟产品排行榜 cfr287wrt 6，最小值是－6. 深化拓展对于任意实数 x、y，定义运算 x*y=ax+by+cxy，其中 a、b、c 是常数，等式右边的运 算是通常的加法和乘法运算.现已知 1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数 m，使得对于任 意实数 x，都有 x*m=x，试求 m 的值. 提示：由 1*2=3，2*3=4，得 . 4632, 322 cbacba∴b=2+2c，a=－1－6c. 又由 x*m=ax+bm+cmx=x 对于任意实数 x 恒成立，∴∴b=0=2+2c.  . 0, 1 bmcma∴c=－1.∴（－1－6c）+cm=1. ∴－1+6－m=1.∴m=4. 答案：4.●闯关训练 夯实基础夯实基础 1.已知 y=f（x）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］ ，若它存在反函数， 则反函数在其定义域上 A.单调递减且最大值为 7B.单调递增且最大值为 7 C.单调递减且最大值为 3D.单调递增且最大值为 3 解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性， f－1（x）的值域是 ［1，3］. 答案：C 2.关于 x 的方程|x2－4x+3|－a=0 有三个不相等的实数根，则实数 a 的值是 ___________________. 解析：作函数 y=|x2－4x+3|的图象，如下图.x y O1 2 3 -11 2 3 由图象知直线 y=1 与 y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程 |x2－4x+3|=1 也就是方 程|x2－4x+3|－1=0 有三个不相等的实数根，因此 a=1. 答案：13.若存在常数 p＞0，使得函数 f（x）满足 f（px）=f（px－） （x∈R） ，则 f（x）2p的一个正周期为__________.解析：由 f（px）=f（px－） ，2p令 px=u，f（u）=f（u－）=f［（u+）－］ ，∴T=或的整数倍.2p 2p 2p 2p 2p答案：（或的整数倍）2p 2p4.已知关于 x 的方程 sin2x－2sinx－a=0 有实数解，求 a 的取值范围. 解：a=sin2x－2sinx=（sinx－1）2－1. ∵－1≤sinx≤1，∴0≤（sinx－1）2≤4.∴a 的范围是［－1，3］.5.（2004 年上海，19）记函数 f（x）=的定义域为 A，g（x）132xx=lg［（x－a－1） （2a－x） ］ （a＜1）的定义域为 B. （1）求 A； （2）若 BA，求实数 a 的取值范围.解：（1）由 2－≥0，得≥0，13  xx 11  xx∴x＜－1 或 x≥1，即 A=（－∞，－1）∪［1，+∞）. （2）由（x－a－1） （2a－x）＞0，得（x－a－1） （x－2a）＜0.∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=（2a，a+1）.∵BA，∴2a≥1 或 a+1≤－1，即 a≥或 a≤－2.21而 a＜1，∴≤a＜1 或 a≤－2.21故当 BA 时，实数 a 的取值范围是（－∞，－2］∪［，1）.21培养能力培养能力 6.（理）已知二次函数 f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）. 若 f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］ ，符合上述条件的函数 f（x） 是否存在？若存在，求出 f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：设符合条件的 f（x）存在，∵函数图象的对称轴是 x=－，2b又 b≥0，∴－≤0.2b①当－＜－≤0，即 0≤b＜1 时，21 2b函数 x=－有最小值－1，则2b或（舍去）.     1, 001124 0) 1(1)2(22cbcbcbbfbf  3, 4 cb②当－1＜－≤－，即 1≤b＜2 时，则2b 21戒烟最好的方法 戒烟产品 戒烟产品排行榜 cfr287wrt （舍去）或（舍去）.    0, 20)0(1)2( cbfbf  0, 2 cb③当－≤－1，即 b≥2 时，函数在［－1，0］上单调递增，则解得2b  , 0)0(, 1) 1( ff . 0, 2 cb综上所述，符合条件的函数有两个， f（x）=x2－1 或 f（x）=x2+2x. （文）已知二次函数 f（x）=x2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）. 若 f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］ ，符合上述条件的函数 f（x） 是否存在？若存在，求出 f（x）的表达式；若不存在，请说明理由. 解：∵函数图象的对称轴是x=－，又 b≥0，∴－≤－.21b 21b 21设符合条件的 f（x）存在，①当－≤－1 时，即 b≥1 时，函数 f（x）在［－1，0］上单调递增，则21b     . 0, 1 01) 1(1 0)0(1) 1( cb ccb ff②当－1＜－≤－，即 0≤b＜1 时，则21b 210)0(1)21(fbf（舍去）.   0, 1012) 1()21(2 2cbccbb综上所述，符合条件的函数为 f（x）=x2+2x.7.（2005 年春季上海，21）已知函数 f（x）=x+的定义域为（0，+∞） ，且 f（2）xa=2+.设点 P 是函数图象上的任意一点，过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线，垂足分22别为 M、N.N M x y yx =O7 6 5 4211 2 3 4 5 6 7P（1）求 a 的值. （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. （3）设 O 为坐标原点，求四边形 OMPN 面积的最小值.解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=.2a 222（2）设点 P 的坐标为（x0，y0） ，则有 y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可02 x知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|·|PN|=1，即|PM|·|PN|为定值，这个值为 1. 2||00yx 01 x（3）由题意可设 M（t，t） ，可知 N（0，y0）.∵PM 与直线 y=x 垂直，∴kPM·1=－1，即=－1.解得 t=（x0+y0）.txty 00 21又 y0=x0+，∴t=x0+.02 x022 x∴S△OPM=。