反常积分的审敛法.doc

第11章 反常积分§11. 1 反常积分的概念　一　基本内容一、无穷限反常积分 定义1 设函数在上有定义，且在任意区间上可积，如果存在，则称此极限为在上的反常积分，亦称为在上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作．，此时并称收敛．如果极限不存在，则称发散． 同理可定义，，几何解释如图．收敛是指图中阴影区域的面积存在．二、瑕积分 定义2 设函数在上有定义，且在点的任一右邻域内无界，而在上有界可积，如果存在，则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作，，并称收敛，否则称其发散．其中称为瑕点．无界函数的反常积分亦称为瑕积分．同理可得b为瑕点时，．当的瑕点，则定义．若都是的瑕点，则定义．二　习题解答１ 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) ； 解：由于，．所以该反常积分收敛，且收敛于．(2) ；解：由于而所以该反常积分收敛，且收敛于．(3) ； 解：由于，．所以该反常积分收敛，且收敛于．(4) ；解：由于．．所以该反常积分收敛，且收敛于．(5) ； 解：由于，所以该反常积分收敛，且收敛于．(6) ；解：由于，．所以该反常积分收敛，且收敛于．(7) ； 　 解：由于，．所以该反常积分发散．(8) ．解：由于，．所以该反常积分发散．2 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) ； 解：由于为瑕点，而，，所以时，该瑕积分收敛，且值为；所以时，该瑕积分发散．(2) ；解：由于为瑕点，而，．所以该瑕积分发散．(3) ； 解：由于为瑕点，而，．同理，所以该瑕积分收敛，且值为．(4) ；解：由于为瑕点，而，所以该瑕积分收敛，且值为．(5) ； 解：由于为瑕点，而，．所以该瑕积分收敛，且值为．(6) ；解：令，则，所以该瑕积分收敛，且值为．(7) ； 解：令，则．所以该瑕积分收敛，且值为．(8) ．解：由于，为瑕点，又，而时，，时，时，所以，瑕积分发散．3 举例说明：瑕积分收敛时，不一定收敛．解：例如收敛于，但发散．4 举例说明：积分收敛，且在上连续时，不一定有．解：例如．因令得．所以收敛，且在上连续，但不存在．5 证明：若收敛，且存在，则． 证：假设，不妨设，因，所以，．于是，从而．此与收敛矛盾，故．6 证明：若在上可导，且与都收敛，则． 证：因为，所以由都收敛知存在，故由上一题知．§11. 2 无穷限积分的性质与收敛判别一　基本内容一、无穷限积分的性质 由无穷限积分的定义知收敛存在；由极限的柯西收敛准则知存在．定理1 收敛．性质1 若都收敛，则，也收敛，且．性质2 若在上可积，则，与同收同发，且．性质3 若在上可积，则收敛收敛，且 ．定义1 如果收敛，则称绝对收敛．二、比较判别法 比较判别法仅应用于绝对收敛的判别． 由于单调上升，所以，收敛有上界． 定理2 若在上可积，且，则 收敛收敛；而 发散发散．推论 (比较判别法的极限形式)若在上可积，，且，则与同收同发；时，收敛收敛；时，发散发散．当选用为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法．定理3 (柯西判别法) 若在上可积，则，且时，收敛；，且时，发散．定理(柯西判别法的极限形式) 若在上可积，且，则，且时，收敛；，且时，发散．三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法 此法是对一般无穷限积分的敛散性判别． 定理4 (狄立克雷判别法) 若有界，在上单调，且，则收敛．定理5 (阿贝尔判别法) 若收敛，在上单调有界，则收敛． 二　习题解答1 设与是定义在上的函数，，与在上可积，证明：若与都收敛，则与亦收敛．证：(1) 因为，，从而，即．故由判别式为负得．即　　．而　　，收敛，所以　收敛．又　　　　　，所以　收敛．证：(2) 因为与都收敛，所以 收敛．而　　，故绝对收敛，亦收敛．又　．所以由四则运算知收敛．2 设、、是定义在上的三个连续函数，且，证明(1) 若，都收敛，则也收敛；证：因为，所以，．而　，都收敛，　所以　，都存在，从而　存在，故收敛．(2) 若，则．证：因为所以　，，于是由夹逼性定理得，故　．3 讨论下列无穷限积分的收敛性：(1) ； 解：因为，而收敛，故收敛．(2) ；解：因为，而收敛，故收敛．(3) ； 解：因为，而发散，故发散．(4) ；解：因为，而收敛，故收敛．(5) ； 解：当时，发散，当时，收敛．(6) ．解：因为，所以当时，发散，当时，收敛．4 讨论下列无穷限积分绝对收敛还是条件收敛：(1) ； 解：因为，而发散，所以　发散．又，在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛．综上可知条件收敛．(2) ；解：因为，而收敛，所以　绝对收敛．(3) ； 解：因为，而在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛．又，而发散，收敛，所以　发散，综上可知条件收敛．(4) ．解：因为,在时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知收敛．又，而 发散，收敛，所以　条件收敛．5 举例说明，收敛时，不一定收敛；绝对收敛时，也不一定收敛．证：例如，收敛，但发散．又如，如图．则，所以收敛且为绝对收敛．但发散．6 证明：若绝对收敛，且，则必定收敛．证：因为，所以，于是时，，又收敛，就上述，，取，则时，，故收敛．7 证明：若是上的单调函数，且收敛，则．证：不妨设 ，则．实因假设，则时，，从而　，即　　，此与收敛矛盾．又由收敛得　，．而　，所以时，，于是，故　．8 证明：若在上一致连续，且收敛，则．证：假设，则，，，．因为在上一致连续，所以，．从而　于是，，．此与收敛矛盾，故．9 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法．证：因为收敛，所以，，，即在上有界．又单调有界，所以极限存在．设，则，从而由狄氏差别法知收敛．而故　收敛．§11. 3 瑕积分的性质与收敛判别一　基本内容一、瑕积分的性质 设a为瑕点，由瑕积分的定义知收敛存在，由极限的柯西收敛准则知存在．定理1 收敛，．性质1 设 a 为瑕点，若、都收敛，则，也收敛，且．性质2 设a为瑕点，则，与同收同发，且收敛时，．性质3 设 a 为瑕点，若在上可积，则收敛收敛，且 ．定义1 如果收敛，则称绝对收敛． 二、比较判别法 比较判别法仅应用于绝对收敛的判别． 定理2 设a为瑕点，若在上可积，且，则 收敛收敛，而 发散发散．推论(比较判别法的极限形式) 若在上可积，，且，则(1) 时，与同收同发；(2) 时，收敛收敛；(3) 时，发散发散． 定理3 (柯西判别法) 若在上可积，则(1) 且时，收敛；(2) 且时，发散．定理3 (柯西判别法的极限形式) 若在上可积，且，则(1) 且时，收敛；(2) 且时，发散．二　习题解答1 讨论瑕积分的收敛性(1) ； 解：瑕点为．改写积分为．因为发散，所以发散．(2) ；解：瑕点为．因为，而收敛，所以收敛．(3) ； 解：瑕点为．因为，而发散，所以发散．(4) ；解：瑕点为．而　，又收敛，所以收敛．(5) ； 解：瑕点为．而　，又发散，所以发散．(6) ；解：瑕点为．而　，所以当，即时收敛；所以当，即时发散．(7) ； 解：瑕点为．而，所以当时，绝对收敛；又时，，而发散，所以此时发散；当时，条件收敛．(8) ．解：积分表为．就，瑕点为，而，所以收敛；就，因，所以收敛．综上可知收敛．2 计算下列瑕积分的值(1) ； 解：设，则，而　，所以．(2) ．解：令，则，于是，于是　，而，所以．3 证明瑕积分收敛，且，(提示：利用，并将它们相加)．证：瑕点为，而，所以　收敛．令知，于是．而令得．所以．4 利用上题结果，证明(1) ；证：令，则，于是　．(2) ．证：．所以．总练习题111 证明下列等式(1) ；证：令，则，于是，所以．(2) ．证：因为，所以为瑕点．令，则，于是所以　．2 证明下列不等式(1)　；证：为瑕点．而，所以收敛．又设，则，于是．而　　，所以　．(2)　．证：因为，所以收敛．而．．故结论成立．3 计算下列反常积分的值．(1) ； 解：所以为所求．(2) ；解：方法同上可得．(3) ； 解：，就作变换，则，于是所以．(4) ．解：设，则，于是．4 讨论反常积分,取何值时绝对收敛， 取何值时条件收敛． 解：，就，当时，为瑕点．当时，，而收敛，所以当时，绝对收敛．当时，因为，而　收敛，所以当时，绝对收敛．当时，因为，而　发散，所以当时，发散．就，当时，发散．当时，在上有界，单调以零为极限，由狄氏判别法知收敛．而　，所以　发散，故条件收敛．当时，因为，而　收敛，所以当时，绝对收敛．综上可知，当时，或时，发散；当时，条件收敛；当时，绝对收敛．5 证明：设在上连续，．(1) 若，则；证：令，则，令，则，于是　(积分中值定理,)． 令得．(2) 若收敛，则．证：由(1)得．因收敛，所以由柯西收敛准则得，．即　．故　．6 证明下述命题(1) 设，为上的非负连续函数．若收敛，则也收敛． 证：因为收敛，。