圆相关定理.doc

弦切角定理1、 弦切角1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角 2、 弦切角定理1、 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半2、 弦切角定理证明（分三种情况讨论）：已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：弦切角定理①圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A， 　　∴弧CmA=弧CA 　　∵为半圆, 　　∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 　　 ②圆心O在∠BAC的内部过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E，连接EC、ED、EA ∴∠CED=∠CAD ∠DEA=∠DAB 　　∴ ∠CEA=∠CAB 　 　 　　 B ③圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D ∴∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 　　∴∠CDA=∠CAB 3、 弦心角推论1、 推论内容：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等2、 应用：Eg.如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，　∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD， 　即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD. 圆幂定理——相交弦定理1、 相交弦定理1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：∵弦AB、CD交于点P∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 1、 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项P.S.1、几何中比例中项的概念：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。

2、性质：b2=a*c几何语言：∵AB是直径，CD垂直AB于点P∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）2、 相交弦定理证明证明：连结AC，BD由圆周角定理的推论得∠A=∠D，∠C=∠B（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 圆幂定理——切割线定理1、 切割线定理1、 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 　　∴PT2=PA·PB（切割线定理）2、 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）/(割线定理）由上可知:PT2=PA·PB即PT2=PC·PD 2、 切割线定理证明已知：如图ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，证明：PT2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT2=PA·PB 圆幂定理——割线定理1、 割线定理1、 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD。

如图所示LT是切线） 2、 割线定理证明已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线证明：PA·PB=PC·PD证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理， ∠A=∠C 　　又∵∠APD=∠CPB 　　∴△ADP∽△CBP 　　∴AP:CP=DP:BP, 即PA·PB=PC·PD 。